一位数学老师的教学笔记：从错误中发现闪光点（带例题）2008-11-14 10:36:00　阅读 次 参与讨论()

作为一名数学教师，每天要面对许多学生的作业，其中也肯定有不少的错误。如何对待学生作业中的错误，这不仅仅关系到学生学习知识的准确性，更重要的是关系到学生学习数学的主动性、自觉性和深刻性，处理得好，可以提高学生学习数学的兴趣，提高学生的能力，说远一点，有利于提高学生的学习习惯和数学素质，有利于培养学生勇于探索、刻苦钻研的精神。

例如，在许多资料上都有这样一道试题：

已知数列{an}与{bn}是等差数列，Sn和S'n分别是它们的前n项和，且Sn∶S'n＝(5n＋3)∶(2n＋7)，求a20∶b20.

我们都知道正确解法是：

“(a1＋a39)＝2a20，　(b1＋b39)＝2b20

a20∶b20＝(a1＋a39)∶(b1＋b39)

＝(a1＋a39)×39∶(b1＋b39)×39

＝S39∶S'39＝(5×39＋3)∶(2×39＋7)

＝198∶85”

而在学生的作业中却出现了以下解法：

“因为Sn∶S'n＝(5n＋3)∶(2n＋7)，

可设Sn＝k(5n＋3)　且　S'n＝k(2n＋7)　　(k≠0)

a20＝S20－S19＝k(5×20＋3)－k(5×19＋3)＝5k，

b20＝S'20－S'19＝k(2×20＋7)－k(2×19＋7)＝2k，

a20∶b20＝5∶2.”

答案错了!但上面的解题过程却似乎无懈可击。我没有简单地将其判错就完事，凭直觉，我感觉到这是学生无意中出了一个“考验”老师的难题，如果简单从事，势必让学生失望，至少会让学生感到遗憾，我耐心地寻找其错误原因，通过反复推敲验证，终于发现问题出在

“因为Sn∶S'n＝(5n＋3)∶(2n＋7)，可设Sn＝k(5n＋3)　且　S'n＝k(2n＋7)”这一句话上，这种设法虽然可以保证“Sn∶S'n＝(5n＋3)∶(2n＋7)”成立，但因等差数列的前n项和Sn不是n的一次函数，而是n的二次函数，即Sn＝na1＋n(n－1)d，这样，由“Sn∶S'n＝(5n＋3)∶(2n＋7)”就不能得到“Sn＝k(5n＋3)且S'n＝k(2n＋7)”。

错误原因找到了，到此为止也可以向学生“交代”了，但我没有就此罢休，一个强烈的念头迫使我沿着学生的思路继续下去：既然Sn是n的二次函数，那么把上面的设改为：

“可设Sn＝kn(5n＋3) 且 S'n＝kn(2n＋7)”

(让其满足二次关系)又怎么样呢？算一算：

a20＝S20－S20＝20k(5×20＋3)－19k(5×19＋3)＝198k，

b20＝S'20－S'20＝20k(2×20＋7)－19k(2×19＋7)＝85k，

a20∶b20＝198∶85.

结论完全正确！是巧合吗？再对一般情况进行验证，证明这个方法是正确的。第二天，我先将错误的解法公布出来让学生思考，学生中一时还没有人能够指出其错误原因，而且用这个解法解题的学生自以为“闯了祸”而不敢抬头。而当我指出错误原因，并公布由这种错误解法演变而得到的正确解法时，学生的情绪一下子高涨起来，很快，又有学生提出：“为什么不设为Sn＝(kn＋c)(5n＋3)且S'n＝(kn＋c)(2n＋7)呢?”

其实，只要注意到Sn的表达式中没有常数项就行了，如果有常数项，则需将比例系数设为kn＋c。在这里，关键是学生能够提出这个问题，说明教师的引导已激活了学生的思维，而且正在向更高的层次发展。

通过这个试题的解法由错误到正确并进一步深化，同学们的思维能力得到了很好的锻炼，学习积极性也得到了充分的发挥，我充分肯定了同学们的思想方法，而且表扬了那几位自以为“闯了祸”的学生及后来继续提问的学生，毫不讳言地说明正是他们的错误“引导”我找到了这种新颖的解法，并鼓励大家能接过老师的思想方法，继续发扬探索精神，为进一步提高自己的综合思维能力而努力。

在第二天的数学课上，被老师授予“命名权”的几位同学郑重其事地给老师递上一份《专利证书》，他们把以上的解法用老师的姓氏命名为“肖氏解法”。