[数学]谈高中二轮主干知识复习（王荣林）2008-3-8 16:07:00　阅读 次 参与讨论()

桂林市第十八中学   王荣林

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  一般来说，高考的解答题有6道题，主要考查的内容有函数、立体几何、解析几何、三角、数列、不等式、导数、概率与统计等。而这些恰是高中数学的重点内容、主干知识。以下按解答题的主要模式加以分说.

一、三角函数

三角函数的考察近年有逐步强化的趋势。主要表现在对三角函数的图像与性质的考察，高考题型大致可以分为如下几类问题：与三角函数单调性有关的问题、与三角函数图像有关的问题、应用同角变换和诱导公式的问题，求三角函数的值及化简、等式的证明的问题，与周期性和对称性有关的问题，三角形中的问题等。

由于三角函数题是基础题、常规题，属于容易题、可做题的范畴，因此，三角函数的复习应控制在课本知识的范围和难度上，这样就能够适应未来高考命题的要求.

解答有关三角题的一般策略：

1.发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”.

2.寻找联系：运用相关三角公式，找出差异之间的内在联系.

3.合理转化：选择恰当的三角公式，促使差异的转化.

三角恒等变形的通性通法：

1.常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos²θ+sin²θ=tanχ.cotχ=tan45度等.

2.项的分拆与角的配凑：如分拆项：sin²χ+2 cos²χ=（sin²χ+ cos²χ）+ cos²χ=1+ cos²χ,配凑角：α=α+β-β，β=α+β/2-α-β/2等.

3.降次与升次：即倍角公式降次与半角公式升次.

4.化弦（切）法：将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）.

5.引入辅助角：αsinθ+b cosθ=√a²+b^2. sin(θ+Φ)，这里辅助角Φ所在象限由a、b的符号确定，Φ角的值由tanΦ=b/a确定.

二、概率统计

高中学习的概率与统计，是大学统计学的基础，起着承上启下的作用，是每年高考命题的热点，在解答题中，排列组合与概率是重点，文科多是等可能性事件，互斥事件，独立事件，理科多是分布列，数学期望，在选择、填空题中，抽样方法是热点。

关于概率与统计的备考建议，应以课本知识为出发点，重视教材的基础作用，不需要做什么扩张和延伸.只要紧扣课本上的概念，深刻理解当中的内涵，熟练掌握它的应用，变通一些重要的数学例题和习题，对于概率试题的处理已经足以应对了，当然，如果再做一些经典的高考真题，对于我们的复习也是很有效的.

对于该部分知识，我们还应当重视其与传统内容的有机结合，重视概率统计的应用功能"它的实际应用性是我们备考时应当着力思考的.

三、立体几何

空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直的性质与判定、线面之间的角与距离的计算作为立体几何考试的重点内容，尤其是以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证为主，基本题型为：证明空间的线面平行或垂直、求空间角与距离，立体几何的线面关系是重点考察内容，特别要注意的是，对一道试题可以用两种方法并用的训练，特别强调用向量法解决问题。垂直是热点，中点是常考，正方体是模型。

由于立体几何解答试题属于常规题、中档题，因而，立几的复习应紧扣教材，熟练掌握课本中任一概念、每一定理的种种用途，突破画图、读图、识图、用图的道道难关.同时，要明白立体几何考题的命题趋向，有针对性地选择一些历年高考中的典型试题，在做题的过程中进行反思，在反思中总结、提炼，不断提高空间想象能力、分析问题和解决问题的能力.

化归思想是立体几何中最常见、最重要的数学思想方法在解答问题时，往往需要定理之间的相互转化，这当中，一个定理的结论，常常又是后续定理的前提条件在对问题的证明或计算时，一般需要将立体图形化归为平面图形，把新的问题情境纳入到原有的知识结构中去，用我们熟悉的平面几何知识或三角方法实施解答.

另外，立体几何中的主要思想还表现在：参数法，通过线段长度参数、角度参数的引入，就可将问题化为代数或三角问题；构造法，主要表现在辅助线、体的添加，这就是常说的分形与补形；分类法，将一个问题破解为几个小的问题，分而治之；反证法，当正面解决出现困难时，不妨从反面入手.

四、解析几何.

直线以倾斜角、斜率、夹角、距离、平行与垂直、线性规划等有关问题为基本问题，对称问题要熟记解答的具体方法。与圆的位置有关的问题，其常规的解答方法是研究圆心到直线的距离，圆锥曲线主要考察的内容是圆锥曲线的概念和性质，直线和圆锥曲线的位置关系等，坐标法是解析几何的基本方法，涉及圆锥曲线参数的取值范围问题是高考常考常新的问题。

解析几何一般与平面向量结合，属于较难题，对于它的复习应当重视解题思路的开发、选择，讲究解题运算当中的方向、合理、简明等算法算理.

坐标法是研究几何问题的重要方法，建立坐标系，引入点的坐标，将几何问题化归为代数问题，用方程的观点实现几何问题的代数化解决，这是坐标思想的本质所在，坐标法包括由曲线的方程来研究曲线的性质和由给定的条件求曲线的方程.

求曲线的方程的常用方法有：直译法、定义法、待定系数法、动点转移法、参数法等等.

将问题当中的方程转化为标准型，你就可以读出当中的特征量，这是快速解题的前提，应当说，熟练掌握直线与圆锥曲线的标准方程、基本量与几何特性是正确解题的基石.平面几何的有关性质在解答某些解析几何问题时，可以起到化繁为简的作用，这点应当在解题实践中多多留心.

五、数列与不等到式

数列是特殊的函数，而不等式是深刻认识函数与数列的重要工具，三者的综合求解题对基础和能力实现了双重检验，三者的综合求证题所显示的代数推理是近年来数学高考命题新的热点，等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和的公式，对基本的运算技能要求比较高。递推数列是近年高考命题的热点内容之一，常考常新。

数列是一种特殊的函数，有关函数的一些性质，完全可以移植到数列的知识里，而数列的多参变量性，使得数列高考试题要高于课本的内容!所以，在复习该部分知识时，应当做一定地扩张，掌握一定的解答试题的套路!解答数列题的一般策略：

1.在解答等差数列或等比数列的有关问题时，“基本量法”（首项与公差、首项与公比）是常用的方法.灵活地运用性质，可使运算简便.

2.对于一般数列的问题常常可以转化为等差、等比数列的问题去求解!如：递推模型a_x+1=ca_x +d就是一个典型的案例.

3.数列求和的常用方法有公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等.

4.数列的前n项和s_x与通项a_x之间关系的转化，依赖于如下结论：a_x=  { s₁,n=1   

                                                                                                {s_x-s_x-1 ,n≥2 

六、函数与导数

函数与导数结合是高考的热点话题，函数的图象要注意利用平移变换、伸缩变换、对称变换，注意函数图象的对称性、函数值的变化趋势。对指数函数与对数函数的考察，大多是以基本函数的性质为依托，结合运算推理来解决，能运用性质比较熟练地进行有关数式的大小比较，方程解的讨论等，因为三次函数的导数是二次函数。所以对于三次函数的命题是有可能的。其他新颖函数将是高考命题的设计点。这是因为导数成为高考的热门话题，连续函数在闭区间上的最值定理极有可能在命题中出现。

由于函数与导数的解答题是常规题、必考题，它的解答需要应用导数的有关知识，属于中档题或压轴题的位置：

1.函数与导数的复习既要依据课本中的重要知识点，还要适当选择难度较大、具有一定训练价值的新颖问题，只有紧扣高考命题的方向，才能适应高考命题的新趋势.

2.求函数的单调性和单调区间、函数的最值可以应用导数法或定义法来解答.

3.掌握求函数定义域、值域、解析式、反函数的基本方法!在熟悉相关技能的同时，注意对换元、待定系数法等思想方法的运用.

4.通过对分式函数、分段函数、复合函数、抽象函数等的学习，来进一步体会函数关系的本质，以适时构造函数，树立动态的、相互制约的函数思想，促进函数思想在解题中的广泛应用.

在高三数学复习中，夯实基础知识，把握纵横联系，构建知识网络，揭示普遍规律，同时寻求知识网络的交*点，加大交*点的知识整合，是提高复习效率的重要方法，这也与高考题的设计相吻合，给合近几年的全国卷及其他省市卷的情况，需要关注八大交融：

1、三角与向量交融。从全国卷及其他省市卷来看，这是一种基本题型。

2、解析几何与向量交融。从全国卷及其他省市卷来看，向量作为一种知识与工具，应该说是高考的一种趋势。

3、数列与解析几何交融（点列问题），近几年高考题中出现了一种以点的坐标为项的点列问题，它是以解析几何为背景，用数列的有关知识来解决的一类综合性试题，解决点列问题的关键是把几何中的点列问题化归为代数中的数列问题，一般有两种思路：第一，构建递推关系，从而求出通项；第二，归纳、猜想出通项，再用数学归纳法证明。由于用数学归纳法时从K到K+1进也要依赖递推关系，所以一般可以直接利用第一种思路解题比较简洁。

4、数列与不等式交融（数列不等式问题）。数列不等式问题有时常被设置为高考压轴题，能力要求较高，一方面，对项不等问题常规处理方法：（1）利用证明不等式的一般方法（基本不等式法，比较法，放缩法等）；（2）数学归纳法；（3）结合函数的单调性求解；（4）先求通项，后利用通项求解。另一方面，对和不等问题常规处理方法：（1）合理放缩，裂项相消；（2）裂项无效，化归等比；（3）放缩不够，多次放缩（如迭代放缩）。

5、概率与方程交融。

6、函数、导数、不等式交融。

7、函数与数列交融。

8、立体几何与方程交融。（立体几何探索性问题，主要掌握两种解题途径：先猜后证；运用方程思想，化归为代数问题。）