[数学]不等式与函数有关恒成立的综合运用2008-4-8 14:33:00　阅读 次 参与讨论()

高考资源网版权所有 未经允许严禁转载

山东 王占东

高三数学复习中的恒成立问题，涉及到函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，因此备受命题者的青睐，也成为历年高考的一个热点。现笔者就几个例题加以说明。

例1 若不等式2x-1＞m(x²-1)满足-2≤m≤2的一切m都成立，试求实数x的取值范围.

分析: 若将原问题转化为集合[-2,2]是原关于m的不等式的解集的子集,则不可避免地要分类讨论.若将它看成关于m的函数就简单多了。

解析：令f(m)= (x²-1) m-（2x-1）,则可转化为函数f(m)在区间[-2,2]上的最大值小于零,而f(m)是“线性函数”或“常数函数”，其最值在区间端点取得，故f（-2）〈0且f（2）〈0，解之得，x的取值范围是 .

例2 若不等式x²-m(4xy- y²)+4m²y²≥0对一切非负实数x、y恒成立，试求实数m的取值范围.

分析：题中两个自变量和一个参变量，看起来很难解，但我们把两个自变量转化为一个变量x/y，问题就转化为二次不等式了。

解析： 若y=0,则对任意关于实数m的不等式都成立；若y≠0,则原不等式可化为设t=x/y,则t≥0且

g(t)= t²-4mt+m+4m².问题转化为二次函数g(t)在区间 [0,＋∞)上的最小值非负.故有或由此解得,m的取值范围为.

点评： 二次函数的图象与性质是中学数学中的重点内容,利用二次函数在区间上的最值来研究恒成立问题,可使原本复杂的问题变得易于解决.

例3 定义在R上的奇函数f(x)是减函数,是否存在这样的实数m,使f(cos²θ+2msinθ)+f(-2m-2)>f(0)对所有的θ∈[0, ]均成立?若存在,则求出所有适合条件的实数m;若不存在,试说明理由.

分析：不等式f(x)>a恒成立等价于f(x)_min>a；不等式f(x)〈a恒成立等价于f(x)_max〈a.据此,可将恒成立的不等式问题转化为求函数的最大或最小值问题,从而使问题获解.将参变元与主变元从不等式中彼此分离,可更简捷地实施“函数最值法”

解析：由题意知,原不等式等价于: cos²θ+2msinθ<2m+2,即2m(1-sinθ)> cos²θ-2.若1-sinθ=0,则不论m为何值时不等式均成立；若1-sinθ≠ 0，则分离参数得：令1-sinθ=t,则0＜t≤1

,它在(0,1]上为增函数,故t=1时,y_max=-1.由2m> y_max知,所有适合不等式的m的取值范围是(-1/2, ＋∞).

点评： 在求解本例时,若无分离参数的求简意识,则必转化为含参二次函数在区间上的最值问题,不可避免地要进行分类讨论.此外,诸多恒成立的不等式问题通过参数分离后常可转化为函数 的最值问题,其最值的求解通常用基本不等式或函数的单调性来完成.

例4 若不等式3|x+a|-2x+6>0对一切实数x都成立,试求实数a的取值范围.

解析：尝试前述三种方法均较为麻烦,而将原不等式变形为|x+a|>2/3x-2,并构造函数f(x)= |x+a|,g(x)= 2/3x-2,在同一坐标系内作出它们的图象(图略),借助于图形直观立知:-a<3,即a>-3,所求a的取值范围是(-3,+∞ ).

点评：将恒成立的不等式问题,合理地转化为一个函数的图象恒位于另一个函数图象的上（下）方，进而利用图形的直观性而使问题获得（巧解的方法）（巧妙地解决）。

例5 若函数的定义域为R，求实数a的取值范围.

分析：f(x)的定义域为R等价于在实数集R中恒成立,令t=|sinx|,则t∈[0,1]且在t∈[0,1]上恒成立.

解法1：转化为g(t)­­_min≥0.此时,若呆板地去求二次函数g(t)在区间[0,1]上的最小值,则必分类讨论；而借助于二次函数图形直观分析思考后知:闭区间上开口向下的二次函数的最小值必在区间端点处取得,便有g(0) ≥0且g(1) ≥0,由此解得a值的范围是[0,1].

解法2：转化为,即在t∈[0,1]时,函数的图象恒在函数y= t²-1图象的上方,观察图形(图略)便知,0≤2a≤2,0≤a≤1.故a的取值范围为[0,1].

综上所述,求恒成立不等式中参数的取值范围固然有四类彼此相联的思维方法,但是面对具体问题时,只有在函数思想的指引下,树立强烈的参数分离与数形结合的意识,这些方法才能产生良好的效益.