2009高考数学离散型随机变量解答题考点预测

上海南汇中学  王海平

在高考中，离散型随机变量的期望与方差试题的出题背景大多数源于课本上，有时也依赖于历年的高考真题、资料中的典型题例为背景，涉及主要问题有：产品检验问题、射击、投篮问题选题、选课，做题，考试问题、试验，游戏，竞赛，研究性问题、旅游，交通问题、摸球球问题、取卡片，数字和入座问题、信息，投资，路线等问题。属于基础题或中档题的层面。高考中一定要尽量拿满分。

一、         考题预测

离散型随机变量的期望与方差涉及到的试题背景有：产品检验问题、射击、投篮问题选题、选课，做题，考试问题、试验，游戏，竞赛，研究性问题、旅游，交通问题、摸球球问题、取卡片，数字和入座问题、信息，投资，路线等问题。

从近几年高考试题看，离散型随机变量的期望与方差问题还综合函数、方程、数列、不等式、导数、线性规划等知识主要考查能力。

二、         复习建议

1．学习概率与统计的关键是弄清分布列,期望和方差在统计中的作用.

离散型随机变量的分布列的作用是：

（1）可以了解随机变量的所有可能取值；

（2）可以了解随机变量的所有取值的概率；

（3）可以计算随机变量在某一范围内取值的概率。

2．离散型随机变量的分布列从整体上全面描述了随机变量的统计规律。

3．离散型随机变量的数学期望刻画的是离散型随机变量所取的平均值，是描述随机变量集中趋势的一个特征数。

4．离散型随机变量的方差表示了离散型随机变量所取的值相对于期望的集中与分散程度。

三、         知识点回顾

     1．离散型随机变量的期望：

（1）若离散型随机变量的概率分布为

则称为的数学期望（平均值、均值）

   简称为期望。

    ① 期望反映了离散型随机变量的平均水平。

② 是一个实数，由的分布列唯一确定。

③ 随机变量是可变的，可取不同值。

④ 是不变的，它描述取值的平均状态。

（2）期望的性质：

    ①

    ②  

    ③ 若，则 

    ④ 若，则 

2．离散型随机变量的方差

（1）离散型随机变量的方差：设离散型随机变量可能取的值为 且这些值的概率分别为

则称  ……；为 的方差。

① 反映随机变量取值的稳定与波动。

② 反映随机变量取值的集中与离散的程度。

③ 是一个实数，由的分布列唯一确定。

④ 越小，取值越集中，越大，取值越分散。

⑤ 的算术平均数叫做随机变量的标准差，

记作。

注：在实际中经常用期望来比较两个类似事件的水平，当水平相近时，再用方差比较两个类似事件的稳定程度。

（2）方差的性质：

    ①

    ②  

    ③ 若，则  

 ④ 若，则  

⑤

四、         考点预测

考点1：比赛类问题

例1.两个排球队进行比赛采用五局三胜的规则，即先胜三局的队获胜，比赛到此也就结束，假设按原定队员组合，较强队每局取胜的概率为0.6，若前四局出现2比2的平局情况，较强队就换人重新组合队员，则其在决赛局中获胜的概率为0.7，设比赛结束时的局数为.

   （Ⅰ）求的概率分布；

   （Ⅱ）求E.

分析及解:（Ⅰ）=3，4，5.

的概率分布为

（Ⅱ）E=3×0.2800+4×0.3744+5×0.3456=4.0656.

考点2：射击类问题

例2.甲、乙两人玩投篮游戏，规则如下：两人轮流投篮，每人至多投2次，甲先投，若有人投中即停止投篮，结束游戏，已知甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为求：

   （1）乙投篮次数不超过1次的概率；

分析及解记“甲投篮投中”为事件A，“乙投篮投中”为事件B。

    解法一“乙投篮次数不超过1次”包括三种情况：一种是甲第1次投篮投中，另一种是甲第1次投篮未投中而乙第1次投篮投中，再一种是甲、乙第1次投篮均未投中而甲第2次投篮投中，

所求的概率是P = P（A+                       

     =

答：乙投篮次数不超过1次的概率为                   

    解法二：“乙投篮次数不超过1次”的对立事件是“乙投篮2次”，所以，所求的概率是

    =                                                   

    答：乙投篮次数不超过1次的概率为                             

   （2）甲、乙投篮总次数ξ的取值1，2，3，4，

甲、乙投篮次数总和ξ的分布列为

ξ      1      2      3      4

P                     

    甲、乙投篮总次数ξ的数学期望为

    答：甲、乙投篮次数总和ξ的数学期望为 

考点3：选课类问题

例3.甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92。求：

   （1）求该题被乙独立解出的概率。

   （2）求解出该题的人数ξ的数学期望和方差。

分析及解（1）记甲、乙分别解出此题的事件记为A、B.

设甲独立解出此题的概率为P₁，乙独立解出此题的概率为P₂.

则P（A）=P₁=0.6，P（B）=P₂

P（A+B）=1－P（）

=1－(1－P₁)(1－P₂)=P₁+P₂－P₁+P₂=0.92

∴0.6+P₂－0.6P₂=0.92

则 0.4P₂=0.32即P₂=0.8.

   （2）P（ξ=0）=P（）·P（）=0.4×0.2=0.08

P(ξ=1)=P(A)P()+P()P(B)=0.6×0.2+0.4×0.8=0.44

P(ξ=2)=P(A)·P(B)=0.6×0.8=0.48

ξ的概率分布为：

Eξ=0×0.08+1×0.44+2×0.48=0.44+0.96=1.4Dξ=(0－1.4)²·0.08+(1－1.4)²·0.44+(2－1.4)²·0.48 =0.1568+0.0704+0.1728=0.4

∴解出该题的人数ξ的数学期望为1.4，方差为0.4。

例4.某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响. 已知某学生只选修甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积<, SPAN>.

   （Ⅰ）记“函数为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率；

   （Ⅱ）求的分布列和数学期望.

分析及解：设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为x、y、z

       依题意得            

（I）                    若函数为R上的偶函数，则=0     

       当=0时，表示该学生选修三门功课或三门功课都没选.

       =0.4×0.5×0.6+（1－0.4）（1－0.5）（1－0.6）=0.24

       ∴事件A的概率为0.24                                                       

   （II）依题意知=0.2

       则的分布列为

       ∴的数学期望为E=0×0.24+2×0.76=1.52                     

考点4：交通类问题

例5.春节期间，小王用私家车送4位朋友到三个旅游景点去游玩，每位朋友在每一个景点下车的概率均为，用表示4位朋友在第三个景点下车的人数，求：

   （Ⅰ）随机变量的分布列；

   （Ⅱ）随机变量的期望.

解法一：（I）的所有可能值为0，1，2，3，4，

       由等可能性事件的概率公式得

       从而的分布列为                                                                  

   （II）由（I）得的期望为

       解法二：（I）考察一位朋友是否在第三个景点下车为一次试验，这是4次独立重复试验.

       解法三：（II）由对称性与等可能性，在三个景点任意一个景点下车的人数同分布，故期望值相等。

考点5：数字类问题

例6.在一个盒子里放有6张卡片，上面标有数字1，2，3，4，5，6，现在从盒子里每次任意取出一张卡片，取两片.

   （I）若每次取出后不再放回，求取到的两张卡片上数字之积大于12的概率；

   （II）在每次取出后再放回和每次取出后不再放回这两种取法中，得到的两张卡片上的最大数字的期望值是否相等？请说明理由.

分析及解：（I）取到的两张卡片上数字之积大于12的事件为3，4，5，6四个数中取出两个，且应除去3，4两个数字。

            故所求事件概率.

   （II）若每次取出后不再放回，则得到的两张卡片上的数字中最大数字随机变量ξ，ξ=2，3，4，5，6.

        若每次取出后再放回，则得到的两张卡片上的数字中最大数字是随机变量，η，

η=1，2，3，4，5，6.

       ∴在每次取出后再放回和每次取出后不再取回这两种取法中，得到的两张卡上的数

字中最大数字的期望值不相等.

考点6：信息类问题

例

.

   （Ⅰ）写出最大信息总量的分布列；

   （Ⅱ）求最大信息总量的数学期望.

分析及解（1）由已知，的取值为7，8，9，10.

的概率分布列为   

   （2）