随着高考的临近,相信同学们对所学的数学知识已进行了系统的复习。在你满怀信心准备进入考场之前,以下一些易忽略的,细节性的问题是否引起你的注意?你对它们是否有清醒的认识?实际上,在高考的考试中要拿高分并不是你对难题会不会做,而是你是否把错误降低到最低的程度,这才是你考高分的关键。下面就高中数学中常出现的一些错误进行归纳总结,希望在你的考试中有所帮助。 1、区分集合中元素的形式:如: 如:(1)设集合 (2)设集合 提醒:数形结合是解集合问题的常用方法:解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具,将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解决; 2、注意集合的子集时是否忘记 例如:(1)。 (2) 3、 注意命题 命题 ┐P命题中的“ 如:(1)“ (2)命题“ 4.注意充分和必要条件中的不同叙述结构。如“A是B成立的充分不必要条件”与“B成立的充分不必要条件是A”是等价的。 二、函数与导数 1、二次函数:①三种形式: ②b=0偶函数;③实根分布:先画图再研究△>0、轴与区间关系、区间端点函数值符号; 2、反比例函数中常用的常数分离法: 3、对勾函数(1)
(2)推广: 4、单调性①定义法;②导数法. 如:已知函数 注意:① ②:函数单调性与奇偶性的逆用了吗?(①比较大小;②解不等式;③求参数范围). 如:已知奇函数 ③复合函数由同增异减判定 ④图像判定. ⑤作用:比大小,解证不等式. 求一个函数的单调区间时,你是否考虑了函数的定义域? 如:求 ⑥你知道函数 5、奇偶性:定义域关于原点对称是为奇函数或偶函数的必要而不充分的条件。 6、周期性:由周期函数的定义“函数 ③若 如:(1) 设 7、常见的图象变换 ①函数 如:要得到 ②函数 如: ③函数 如:(1)将函数 (2)如若函数 ④函数 8、函数的对称性。 ①满足条件 如:已知二次函数
②点 ③点 ④点 如1.设二次函数 A、 2.已知函数 提醒:证明函数图像的对称性,即证明图像上任一点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;如(1)已知函数 ⑥曲线 ⑦形如 ⑧ 9.几类常见的特征函数 : ①正比例函数型: ②幂函数型: ③指数函数型: ④对数函数型: ⑤三角函数型: 如:已知 10、判断函数图像的三个步骤:(1)定义域,值域; (2)特性(单调性,奇偶性等); (3)特性检验 11、题型方法总结 Ⅰ判定相同函数:定义域相同且对应法则相同 Ⅱ求函数解析式的常用方法: (1)待定系数法――已知所求函数的类型。如已知 (2)三角换元法和配凑法: 如(1)已知 (注意变量的取值范围); (2)若函数 这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性,即 (3)方程的思想――对已知等式进行赋值,从而得到关于 (答: Ⅲ恒成立问题:分离参数法;最值法; (1) (2) (3) 如:当x Ⅳ。利用一些方法(如赋值法(令 如(1)若
奇偶性是______(答:偶函数); (3)已知 解集是_____________(答: (4)设 12、二分法、函数零点。(端点检验) 如1: A. C. 如2:已知
13、导数应用: ⑴过某点的切线不一定只有一条; 如:已知函数 过点 (注意切点的位置:是在曲线上还是外,一定注意切点的合理假设) ⑵研究单调性步骤:分析y=f(x)定义域;求导数;解不等式f/(x)≥0得增区间;解不等式 ⑶求极值、最值步骤:求导数;求 如:(1)函数 特别提醒:(1) (2)给出函数极大(小)值的条件,一定要既考虑 如:已知函数 例:已知函数 错解:求导,
则有{ {
评析:利用导数,函数单调性的判断法则为: 在区间D上,若 正解:求导, 14、映射的概念你了解了吗? 如,已知映射 三、数列、 1、 2、 如:若 3、首项正的递减(或首项负的递增)等差数列前n项和最大(或最小)问题,转化为解不等式 如:(1)等差数列 (2)若 4、等比数列中注意 5.常用性质:等差数列中, 6.常见数列:{ 7. 等差数列{ 等比数列{ 如:公比为-1时, 8.等差数列{ 9.求和常法:公式、分组、裂项相消、错位相减、倒序相加.关键找通项结构. 分组法求数列的和:如an=2n+3n 、 错位相减法求和:如an=(2n-1)2n、 例1:在数列 (1)求 (3)是否存在自然数m,使得对任意 例2:已知函数
(1) 求函数 (2) 求数列 倒序相加法求和:如①求证: 10.求数列 ① 11.求通项常法: (1)已知数列的前n项和 如:数列 (2)先猜后证 (3)递推式为 如:已知数列 (4)构造法形如 如:已知 例:求下列数列的通项公式 (1)已知数列 (2)设数列 (3)若数列 (5)涉及递推公式的问题,常借助于“迭代法”解决,适当注意以下3个公式的合理运用 (6)倒数法:形如 如:①已知 ②已知数列满足 12、常见和: (1)正数数列 (2)已知数列 周期数列的有关问题 例1已知 A.2
四、三角 1、终边相同(β=2kπ+α); 弧长公式: 2、函数y= 如:(1)函数 (2)已知函数 ④变换:φ正左移负右移;b正上移负下移;
3、正弦定理:2R= 余弦定理:a 术语: 坡度、仰角、俯角、方位角(以特定基准方向为起点(一般为北方),依顺时针方式旋转至指示方向所在位置,其间所夹的角度称之。 方位角α的取值范围是:0°≤α<360° 4、同角基本关系:如:已知 5、诱导公式简记:奇变偶不变,符号看象限.(注意:公式中始终视a为锐角) 6、重要公式: 如:函数 巧变角:如 7、辅助角公式中辅助角的确定: 如:(1)当函数 8.(1) 你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗?你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗?在△ABC中,sinA>sinBÛA>B对吗? 例:已知直线 2若函数 向左平移 A、( ⑵在由某一个的三角函数值求角时,你是否注意到角度的确切范围了吗? 如:已知 说明:为避免范围的讨论,你求哪一三角函数值最合适,为什么?(余弦) 如:sin A.第二象限 B.第三象限 C.第四象限 D.第三或第四象 又如:判断正误:△ABC的内角必是第一或第二象限的角。( 又如:设向量
⑶在求三角函数的单调区间或某一三角函数值对应的角时,你注意到K 如:已知方程sin2x+sinx+ 五、平面向量 1、向量定义、向量模、零向量、单位向量、相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量。 注意:不能说向量就是有向线段,为什么?(向量可以平移) 2、加、减法的平行四边形与三角形法则: 3、向量数量积的性质:设两个非零向量 ① ②当 ③ ④ 4、 特别:. 如:平面直角坐标系中, 特别: 5、在 ② ③向量 如:(1)若O是 (2)若 (3)若点
6、在多边形中,有关向量的关系:原则应选定两个不共线的非零向量作为“基底”。用“基底” 向量来表示其他向量。 六、不等式 1、注意课本上的几个性质,另外需要特别注意: ①若 ②对对数 2、比较大小的常用方法:(1)作差;(2)作商;(3)利用函数的单调性;(4)寻找中间量与“0”比,与“1”比法;(5)图象法; 注意:选择题中的大小比较经常采用特殊值检验法。 3、常用不等式:若 注意:①一正二定三取等;②积定和最小,和定积最大。常用的方法为:拆、凑、平方; 如:如果正数 又如:①函数 ②若若 ③正数 4换元法:常用的换元有三角换元和代数换元。“1”的换元: 如:已知 已知 已知 5、分式、高次不等式:通分因式分解后用根轴法(穿线法).注意偶次式与奇次式符号.奇穿偶回;指数不等式和对数不等式的化法以化为“同底”,利用单调性。 如(1)解不等式 七、立几 1.、常用定理:①线面平行 ②线线平行: ③面面平行: ④线线垂直: ⑤线面垂直: 2、正四面体的外接球与内切球的球心是同心球,如果边长为 3、 三视图特别注意三棱锥的“三”图之间的关系。 4、表面积与全面积的区别 S球=4πR2; V球= 5、 平面图形翻折(展开):注意翻折(展开)后在同一平面图形中角度、长度不变;
八、解几 1、倾斜角 2、直线方程:点斜式 两点式: 3、两直线平行和垂直 ①若斜率存在 ②若 ③若 ④ 4、圆:标准方程 参数方程: 5、若 6、直线与圆关系,常化为线心距与半径关系,如:用垂径定理,构造Rt△解决弦长问题,又: 7、圆与圆关系,常化为圆心距与两圆半径间关系.设圆心距为 8、把两圆 9、圆上动点到某条直线(或某点)的距离的最大、最小值的求法(过圆心) 10、(1)椭圆:①方程 (2)双曲线:①方程 ③e= ⑧渐进线 (3)抛物线:①方程y2=2px②定义:|PF|=d准③顶点为焦点到准线垂线段中点;x,y范围?轴?焦点F( 11、简单线性规划问题的可行域求作时,要注意不等式表示的区域是相应直线的上方、下方,是否包括边界上的点。利用特殊点进行判断)。 对求线性的目标函数Z=ax+by的最大值或最小值时,你对b的符号注意了吗? 求最优解注意①目标函数值≠截距②目标函数斜率与区域边界斜率的关系.如x、y满足 求形如: 在求变量(式)的取值范围时,你是否考虑到范围的扩大或缩小了吗? 如:已知函数:f(x)=px2-q且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范围。[-1,20],注:本题你能否用线性规划的有关知识解题吗? 12、相交弦问题 ①用直线和圆锥曲线方程消元得二次方程后,注意用判别式、韦达定理、弦长公式; 注意二次项系数为0的讨论;注意对参数分类讨论和数形结合、设而不求思想的运用;注意焦点弦可用焦半径公式,其它用弦长公式 ②涉及弦中点与斜率问题常用“点差法”.如: 曲线 13、轨迹方程:直接法(建系、设点、列式、化简、定范围)、定义法、相关点法、代入法(动点P(x,y)依赖于动点Q(x1,y1)而变化,Q(x1,y1)在已知曲线上,用x、y表示x1、y1,再将x1、y1代入已知曲线即得所求方程)、消参法等. 14、解题注意: ①考虑圆锥曲线焦点位置,抛物线还应注意开口方向,以避免错误 ②求圆锥曲线方程常用待定系数法、定义法、轨迹法 ③焦点、准线有关问题常用圆锥曲线定义来简化运算或证明过程 ④运用假设技巧以简化计算.如:中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆(双曲线)方程可设为Ax2+Bx2=1;共渐进线 15、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容: (1) 给出直线的方向向量 (2)给出 (3)给出 (4)给出 (5) 给出以下情形之一:① ③若存在实数 (6) 给出 (8)给出 (9)在平行四边形 (10) 在平行四边形 (11)在 (12) 在 (13)在 (14)在 (15) 在 九、概率与统计 1、随机事件 2、互斥事件和对立事件: 如:某一口袋中有4个白球和2个黑球,从中任取一个白球和一个黑球,则下列关系是互斥事件的是( D ) A.一个白球、一个黑球与至少一个都是白球; B.一个白球、一个黑球与至少一个都是黑球; C. 两个都是白球与至少一个都是白球; D. 两个都是白球与一个白球、一个黑球. 3、总体、个体、样本、样本容量;抽样方法:①简单随机抽样(包括随机数表法,抽签法) ②分层抽样(用于个体有明显差异时). 共同点:每个个体被抽到的概率都相等
4、线性回归直线 如:已知x、y之间的一组数据如下:则线性回归 方程
5、相关性检验和独立性检验的方法和步骤你清楚吗? 如:已知x、y的取值如下表所示:
从散点图分析,y与x线性相关,且
如1:200辆汽车经过某一雷达地区,时速频率分布 直方图如图所示,则时速超过60km/h的汽车 数量为______.
如2:在频率分布直方图中共有11个小长方形,若中间一个小长方形面积等于所有各长方形面积和的 7、古典概率的特性:等可能性和有限性; 如:将数字1,2,3填入标号为1,2,3的三个方格里,每格填上一个数字,则 方格的标号与所填的数字有一个相同的概率是___ 8、几何概率的特性:等可能性和无限性;注意变量的个数决定是线段关系还是面积关系。 例1(1)A是圆上固定的一点,在圆周上等可能地任取一点与A连结,求弦长超过半径的概率; (2)设 例2已知直线 A. 例3将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次,记第一次出现的点数为a,第二次出现的点数为b.设复数 (1)求事件“ 9、用平均数与方差的求法,茎叶图来说明统计学有关问题:数据的平均数,对称性,稳定性,集中性,离散性等。 10、不完全归纳主要是用于解决类似于“杨辉”三角类型的题目,做法“抓”点,“抓”线的发展规律。类比“抓”面与体的关系:等差数列与等比数列的关系。 十、算法初步:(1)程序框图:重点包括求:判断框,处理框,输出结果和功能四部分内容; 程序语句:注意转化为程序框图去处理。特别地:两种循环语句。 例1.右图给出的是计算
A. 例2.右面程序运行后,输出的值是( ) A.42 B.43 C.44 D.45 十一、你了解复数的虚部了吗?所表示的象限?复数的运算?复数所表示的纯虚数概念,复数的模,复数的相等关系,复数的共轭复数关系等。 【★】①对三视图内容的考查:(1)给出几何体的立体图形要求判断(或画出)该几何体的三视图,(2)已知几何体的三视图要求还原成相应的立体图形(或画直观图),并与求体积、侧面积等知识相给合进行考查,或证明有关的平直等关系,此类问题也可能在文科卷的解答题中出现。②算法初步的内容一般结合方程、不等式、数列、统计、求和求积等进行考查,要注意算法思想的渗透和应用:(1)给出一个程序框图,要求判断其输入值或输出结果,或判断其循环条件和基本逻辑结构,(2)给出一个程序,要求判断其输出结果或基本算法语句及相应的基本逻辑结构,或画出相应的程序框图。(文/来源: 莆田四中高三文科数学备课组)
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