| 更多

勾股定理的应用2012-10-24 14:16:00　阅读 次 参与讨论()马上投稿

一、经典证明方法细讲
方法一：
作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.

　　∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,

　　∴ ∠EGF = ∠BED，

　　∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，

　　∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，

　　∴ ∠BEG =180°―90°= 90°

　　又∵ AB = BE = EG = GA = c，

　　∴ ABEG是一个边长为c的正方形.

　　∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°

　　∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,

　　∴ ∠ABC = ∠EBD.

　　∴ ∠EBD + ∠CBE = 90°

　　即 ∠CBD= 90°

　　又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，

　　BC = BD = a.

　　∴ BDPC是一个边长为a的正方形.

　　同理，HPFG是一个边长为b的正方形.

　　设多边形GHCBE的面积为S，则

　　,

　　∴ BDPC的面积也为S，HPFG的面积也为S由此可推出：a^2+b^2=c^2
方法二
作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形.

　　分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，

　　∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，

　　∴FI=a，

　　∴G,I,J在同一直线上，

　　∵CJ=CF=a，CB=CD=c，

　　∠CJB = ∠CFD = 90°，

　　∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ，

　　同理，RtΔABG ≌ RtΔADE，

　　∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE

　　∴∠ABG = ∠BCJ,

　　∵∠BCJ +∠CBJ= 90°,

　　∴∠ABG +∠CBJ= 90°,

　　∵∠ABC= 90°,

　　∴G,B,I,J在同一直线上，

　　所以a^2+b^2=c^2

二、勾股数的相关介绍
　　①观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…发现这些勾股数都是奇数，且从3起就没有间断过。计算0.5(9-1），0.5(9+1)与0.5(25-1），0.5(25+1），并根据你发现的规律写出分别能表示7，24，25的股和弦的算式。 　
　②根据①的规律，用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间的两种相等关系，并对其中一种猜想加以说明。 　
　③继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用上述类似的探索方法，之间用m的代数式来表示它们的股合弦。 　　在一个三角形中，两条边的平方和等于另一条边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。
三、勾股定理的命题方向
命题1：以已知线段为边，求作一等边三角形。 　　
命题2：求以已知点为端点，作一线段与已知线段相等。 　　
命题3：已知大小两线段，求在大线段上截取一线段与小线段相等。 　　
命题4：两三角形的两边及其夹角对应相等，则这两个三角形全等。 　
　命题5：等腰三角形两底角相等。