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突破数学命题难点方法指导（2）2012-11-27 15:08:00　阅读 次 参与讨论()马上投稿

解析(1)当|p|≥2时,例如p=3,此时方程x2+px+p+3=0无实根,因此“若p则q”为假命题;当方程x2+px+p+3=0有实根时,根据判别式有p≤-2或p≥6,此时|p|≥2成立,因此“若q则p”为真命题。故p是q的必要不充分条件。 　　 　　(2)若圆x2+y2=r2与直线ax+by+c=0相切,则圆心(0,0)到直线ax+by+c=0的距离等于r,即r=,化简可得c2=(a2+b2)r2,因此“若p则q”为真命题;反过来,由c2=(a2+b2)r2,可得r=,即圆心(0,0)到直线ax+by+c=0的距离等于r,由解析几何知识得圆与直线相切,因此“若q则p”为真命题。故p是q的充要条件。 　　 　　(3)M∩N=(2,3),M∪N=R,若x∈(2,3),此时显然有x∈R,因此“若p则q”为真命题;反过来,若x∈R,例如x=5,此时x?埸(2,3),因此“若q则p”为假命题。故p是q的充分不必要条件。 　　 　　突破①从逻辑的观点理解:判断充分性、必要性的前提是判断给定命题的真假性,若“若p则q”为真命题,则p是q的充分条件;若“若q则p”为真命题,则p是q的必要条件;若两者都是真命题,则p是q的充要条件;若两者都是假命题,则p是q的既不充分也不必要条件。②从集合的观点理解:建立命题p,q相应的集合。p:A={x|p(x)成立},q:B={x|q(x)成立}。那么:若A?哿B,则p是q的充分条件;若B?哿A,则p是q的必要条件;若A=B,则p是q的充要条件。若A?芫B且B?芫A,则p是q的既不充分也不必要条件。 　　 　　例3已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q(p≠0且p≠1),求证:数列{an}为等比数列的充要条件为q=-1。 　　 　　解析充分性:当q=-1时,a1=p-1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1)。于是当n≥1时,=p,即数列{an}为等比数列。 　　 　　必要性:当n=1时,a1=S1=p+q;当n≥2时,an=Sn-Sn-1 　　 　　=pn-1(p-1)。因为p≠0且p≠1,于是=p。又因为数列{an}为等比数列,所以==p,即=p,解之得q=-1。 　　 　　综上所述,q=-1为数列{an}为等比数列的充要条件。 　　 　　突破证明p是q的充要条件需要分两步:①充分性,把p作为已知条件,结合命题的前提条件,推出q;②必要性,把q作为已知条件,结合命题的前提条件,推出p。最后综上所述,可得p是q的充要条件。特别注意:充分条件的意义只在于保证结论成立,而不管它对结论成立是否必要;必要条件的意义只在于要使结论成立它必不可少,而不管它对结论成立是否充分。因此,在进行恒等变形或探求充要条件的过程中,只注意推导过程的充分性,其结果有可能缩小范围;只注意推导过程的必要性,其结果有可能扩大范围。 　　 　　3。“简单逻辑联结词”的难点在于复合命题的真假性判断以及“命题的否定”与“否命题”的区分 　　 　　例4指出下列命题的真假。 　　 　　(1)-1是奇数或偶数; 　　 　　(2)属于集合Q,也属于集合R; 　　 　　(3)A?埭(A∪B)。 　　 　　解析(1)此命题为“p或q”的形式,其中p:-1是奇数;q:-1是偶数。因为p为真命题,所以原命题为真命题。 　　 　　(2)此命题为“p且q”的形式,其中p:属于集合Q;q:属于集合R。因为只有q为真命题,所以原命题为假命题。 　　 　　(3)此命题为“非p”的形式,其中p:A?哿(A∪B)。因为p为真命题,所以原命题为假命题。 　　 　　突破判断如“p或q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题的真假时,首先要确定命题的构成形式,然后判断其中各简单命题的真假,最后再利用真值表判断复合命题的真假。 　　 　　例5写出下列各命题的否定和否命题。 　　 　　(1)若x+y是偶数,则x,y都是奇数; 　　 　　(2)若xy=0,则x=0或y=0。 　　 　　解析(1)命题的否定:若x+y是偶数,则x,y不都是奇数;否命题:若x+y不是偶数,则x,y不都是奇数。 　　 　　(2)命题的否定:若xy=0,则x≠0且y≠0;否命题:若xy≠0,则x≠0且y≠0。 　　 　　突破命题的否定只是否定命题的结论,而否命题既否定题设,又否定结论。需注意“x=0或y=0”的否定是“x≠0且y≠0”而不是“x≠0或y≠0”;“x,y都是奇数”的否定是“x,y不都是奇数”而不是“x,y都不是奇数”。 推荐给好友：【http://www.ks5u.com/News/2012-11/56887】