| 更多

关于圆锥曲线弦的中点问题2012-11-30 10:32:00　阅读 次 参与讨论()马上投稿

《新编中学数学解题方法全书（高中版中卷）》一书，一开始就提到有关解析几何里的圆锥曲线中点轨迹问题，方法比较全，不愧为解题方法全书，不过就这中点轨迹问题而言，我倒是觉得用不着这么多方法，当然对于老师自己提高倒是很有帮助，我是一直想着用最少的方法学最多的东西，减轻学生负担。就此书中所举的所有例子而言，点差法可以解决所有问题。 　　 　　对于点差法本身的具体含义，我们在下面的例子中就说明。在这里只说有关中点的轨迹方程问题，常见的类型有以下两种：已知斜率或者是已知直线上一点，其中已知直线上一点有一种特殊情况，那就是已知直线中点，当然此时就不是求诡计，而是求其他参数，比如该直线方程啥的。如果没错的话，貌似诸多参考书都只是利用点差法解决中点弦问题，很少求轨迹方程，在这里以此书中的几个例子来说明其进一步的应用。 　　 　　（已知斜率）例题：求椭圆x2/16+y2/9=1中，斜率为k的平行弦的中点的轨迹方程 　　 　　解：设该县与椭圆相交的两点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为(x，y），则必然有： 　　 　　x1+x2=2x,y1+y2=2y 　　 　　x12/16+y12/9=1…………① 　　 　　x22/16+y22/9=1…………② 　　 　　①-②并化简得到： 　　 　　(x1+x2)(x1-x2)/16+(y1+y2)(y1-y2)/9=0 　　 　　因为(y1-y2)/(x1-x2)=k,x1+x2=2x,y1+y2=2y,令所以上式变成： 　　 　　x/16+ky/9=0 　　 　　这便是其中点的轨迹方程 　　 　　（已知直线上一点）例题：给定双曲线x2-y2/2=1,过点A(2,1)的直线L与给定双曲线交于A，B，求线段AB的中点P的轨迹方程。 　　 　　解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点P为(x，y），则必然有： 　　 　　x1+x2=2x,y1+y2=2y 　　 　　x12-y12/2=1…………① 　　 　　x22-y22/2=1…………② 　　 　　(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)/2=0，与第一题同理，设直线斜率为k，则该式子可以简化成：x-ky/2=0 　　 　　根据斜率公式有：k=(y1-y2)/(x1-x2)=(y-1)/(x-2),带入上式得： 　　 　　2x2-y2-4x+y=0 　　 　　这便是中点P的轨迹方程。 　　 　　举这两个例子，是想告诉大家点差法的应用是很广泛的，对于研究曲线中点问题很有帮助，在上面的题目中有一些换算比较巧，这种感觉就靠自己平时的多加练习了，这里面的技巧当然不止于此。 推荐给好友：【http://www.ks5u.com/News/2012-11/57434】