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喜讯：2012年高考福建卷命中第20题14分 （数学理）2012-6-29 16:58:00　阅读 次 参与讨论()马上投稿

高考试题：2012年高考真题——数学理(福建）

http://www.ks5u.com/down/2012-6/14/851119.shtml

命中试题：四川省金堂中学2012届高三10月月考（数学理）

http://www.ks5u.com/down/2011-12/20/661660.shtml

【高考试题】

已知函数f（x）=e^x＋ax²-ex，a∈R。

（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）试确定a的取值范围，使得曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P。

【答案】

【命中试题】

【答案】

解 （1）∵ a＞0，，

∴

=，                …………… 2分

于是，，所以曲线y = f（x）在点A（0，f（0））处的切线方程为，即（a－2）x－ay + 1 = 0．                              … 4分

（2）∵ a＞0，e^ax＞0，∴ 只需讨论的符号．            ………… 5分

ⅰ）当a＞2时，＞0，这时f ′（x）＞0，所以函数f（x）在（－∞，+∞）上为增函数．

ⅱ）当a = 2时，f ′（x）= 2x²e^2x≥0，函数f（x）在（－∞，+∞）上为增函数．

……………… 6分

ⅲ）当0＜a＜2时，令f ′（x）= 0，解得，．

当x变化时， f '（x）和f（x）的变化情况如下表：

∴ f（x）在，为增函数，f（x）在为减函数．                                                           …… 9分

（3）当a∈（1，2）时，∈（0，1）．由（2）知f（x）在上是减函数，在上是增函数，故当x∈（0，1）时，，所以当x∈（0，1）时恒成立，等价于恒成立．当a∈（1，2）时，，设，则，表明g(t) 在（0，1）上单调递减，于是可得，即a∈（1，2）时恒成立，因此，符合条件的实数a不存在．    14分