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高一数学重要知识点总结之二次函数2012-9-27 16:24:00　阅读 次 参与讨论()马上投稿

I.定义与定义表达式 　　 　　一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： 　　 　　y=ax^2+bx+c 　　 　　（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大.） 　　 　　则称y为x的二次函数。 　　 　　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 　　 　　II.二次函数的三种表达式 　　 　　一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0） 　　 　　顶点式：y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P（h，k）] 　　 　　交点式：y=a(x-x？)(x-x？)[仅限于与x轴有交点A（x？，0）和B（x？，0）的抛物线] 　　 　　注：在3种形式的互相转化中，有如下关系： 　　 　　h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax？，x？=(-b±√b^2-4ac)/2a 　　 　　III.二次函数的图像 　　 　　在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像， 　　 　　可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。 　　 　　IV.抛物线的性质 　　 　　1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 　　 　　x=-b/2a。 　　 　　对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。 　　 　　特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0） 　　 　　2.抛物线有一个顶点P，坐标为 　　 　　P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a) 　　 　　当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上。 　　 　　3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。 　　 　　当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。 　　 　　|a|越大，则抛物线的开口越小。 　　 　　4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 　　 　　当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 　　 　　当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。 　　 　　5.常数项c决定抛物线与y轴交点。 　　 　　抛物线与y轴交于（0，c） 　　 　　6.抛物线与x轴交点个数 　　 　　Δ=b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。 　　 　　Δ=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 　　 　　Δ=b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x=-b±√b^2－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a） 　　 　　V.二次函数与一元二次方程 　　 　　特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c， 　　 　　当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程）， 　　 　　即ax^2+bx+c=0 　　 　　此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。 　　 　　函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 　　 　　1．二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表： 　　 　　解析式 　　 　　顶点坐标 　　 　　对称轴 　　 　　y=ax^2 　　 　　(0，0) 　　 　　x=0 　　 　　y=a(x-h)^2 　　 　　(h，0) 　　 　　x=h 　　 　　y=a(x-h)^2+k 　　 　　(h，k) 　　 　　x=h 　　 　　y=ax^2+bx+c 　　 　　(-b/2a，[4ac-b^2]/4a) 　　 　　x=-b/2a 　　 　　当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到， 　　 　　当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到． 　　 　　当h>0，k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象； 　　 　　当h>0，k<0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象； 　　 　　当h<0，k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象； 　　 　　当h<0，k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象； 　　 　　因此，研究抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便． 　　 　　2．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)． 　　 　　3．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而减小；当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大．若a<0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而增大；当x≥-b/2a时，y随x的增大而减小． 　　 　　4．抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点： 　　 　　(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)； 　　 　　(2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x？，0)和B(x？，0)，其中的x1，x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0 　　 　　(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x？-x？| 　　 　　当△=0．图象与x轴只有一个交点； 　　 　　当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0． 　　 　　5．抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x=-b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a． 　　 　　顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值． 　　 　　6．用待定系数法求二次函数的解析式 　　 　　(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式： 　　 　　y=ax^2+bx+c(a≠0)． 　　 　　(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)． 　　 　　(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x？)(x-x？)(a≠0)． 　　 　　7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现． 推荐给好友：【http://www.ks5u.com/News/2012-9/53385】