基本信息
第二讲 同 余
[知识要点]
1．定义 设m>0,若a-b能被m整除（记作m|a-b），即存在整数q，使等式a-b=qm成立，则称a,b关于模m同余（简称同余），记作a≡b(mod m).例如5≡-9(mod 7).
2．性质 同余有许多类似于等式的性质。
（1）a≡a(mod m);
（2）若a≡b(mod m).则b≡a(mod m);
（3）若a≡b(mod m),b≡c(mod m),则a≡c(mod m);
（4）若a≡b(mod m),c≡d(mod m),则a c≡b d(mod m);
（5）若a≡b(mod m),c≡d(mod m),则ac≡bd(mod m)
特别地，当n>0时,有an≡bn(mod m);
（6）若ac≡bc(mod m),且c≠0,则a≡b(mod ).其中(c,m)表示c与m的最大公约数；
（7）若a≡b(mod m),m≡qn,则a≡b(mod n);
（8）若a≡b(mod m1),a≡b(mod m2),…,a≡b(mod mk),则a≡b(mod[m1,m2,…,mk]) 其中[m1,m2,…,mk]表示m1,m2,…,mk的最小公倍数.
注意：性质（6）显示出同余与等式的差异，而性质（7），（8）在等式中没有类似的结论。
3．完全剩余系：将整数集Z进行如下分类：若a≡b(mod m),则a,b属于同一类；否则，不属于同一类，因为任一整数除以m，余数只可能是0,1,2,…,m-1，所以得到m类，称为模m的剩余类，从每个剩余类中各取一个数，这m个数构成的数组称为模m的完全剩余系。例如：{1,2,3,…,m}或{0,1,2,…,m-1}都是完全剩余系。
[例题精讲]
例1.把1，2，3，…，64任意排列，得到a1,a2,a3,…,a64.计算|a1-a2|,|a3-a4|,…,|a63-a64|.再将这32个数任意排列，得到b1,b2,b3,…,b32,并计算|b1-b2|,|b3-b4|，…,|b31-b32|，这样继续下去，直到最后得到一个数x，试判断x是奇数还是偶数。
例2.求证：方程 没有整数解。
例3.对什么样的正整数n，能使5|1n+2n+3n+4n?
例4.设a1,a2,a3,…,am是任意m个整数。求证：从这m个整数中一定可以选出若干个，使它们的和（允许只有一个数的情形）能被m整除。
例5.设n是大于1的奇数，求证：21-1,22-1,23-1,…,2n-1-1中至少有一个数能被n整除。
例6.求8个质数（可以相同），使它们的平方和比它们的乘积的4倍小992。
例7.已知ab≡-1(mod 24),求证：24|a+b.
例8.设A= ,求A除以7所得的余数。
例9.设a0,a1,…,an及r是任意整数，
求证： 的充要条件是 .
练习二
1．对2，22，23，…，29，再添上什么数，就能构成模11的一个完全剩余系？
2．今天是星期一，再过22000天，是星期几？
3．求证：7|22225555+55552222。
4．求证：任一整数都可以表示成五个整数的立方和。
5．是否存在末4位为4444的完全平方数？请证明你的结论。
6．证明：数列11，111，1111，…中没有完全平方数。
7．设a0,a1,…,a100是1，2，…，100的任意排列，对于 令 除以100余 。
求证： 至少取11个不同的值。
8．设 是整系数n次多项式（即其系数a0,a1,…,an均为整数），且 都不能被2004整除。求证：关于x的方程 没有整数根.
9．求 的个位数字，其中共有n个(n>1)47.
10．试判断200426+200527+200628能否被3整除。
