基本信息
2005年江苏省高三数学示范卷（专家预测）
2004.6.9
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用2B铅笔填涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
3．考试结束，将本试卷和答题卡一并收回。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1． 的值为
A．2 B．1 C． D．
2．若复数 所对应的点在第四象限，则 所在的象限是
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．满足 ＜ 的 的取值范围是
A． B． C． D．
4．对于三条不同的直线a、b、c，与三个不同的平面 、 、 ，有下述四个命题：
① ⊥c，b⊥c ∥b； ②a⊥ ，b⊥ ∥b；
③a⊥ ， ⊥ ∥ ； ④ ⊥ ， ⊥ ∥ .
其中正确的有
A．①③ B．②③ C．③④ D．②④
5．设偶函数f(x)= 在(－∞，0)上递增，则f(a+1)与f(b+2)的大小关系是
A．f(a+1)=f(b+2) B．f(a+1)＞f(b+2) C．f(a+1)＜f(b+2) D．不能确定
6．不等式 ＞1－ 的解集是
A． B．（1，+∞） C．（1，8） D．（2，+∞）
7．曲线C1与C2的极坐标方程分别是 和 ，则曲线C1和C2的
位置关系是
A．相离 B．相切 C．相交过圆心 D．相交不过圆心
8．把函数y=x3的反函数的图像向左平移2个单位得图象C1，再作C1关于原点对称的图象C2，则图象C2的函数解析式为
A． B． C． D．
9．将一张建有坐标系的坐标纸折迭一次，使得点（1，0）与点（－1，2）重合，且点
（6，1）与点（m，n）重合，则m+n的值是
A．6 B．7 C．8 D．9
10．若三数a，1，c成等差数列，且a2，1，c2又成等比数列，则 的值为
A．0 B．1 C．0或1 D．不存在
11．过双曲线 (a＞0,b＞0)上任意一点P作x轴的平行线交两条渐近线于Q，R两点，则 为
A．ab B．a2 C．b2 D．a2b2
12．已知每生产100克饼干的原料和加工费为1．8元，某食品厂对饼干采用两种包装，其包装费及售价如右表示，则下列说法中：
①买小包装实惠；
②买大包装实惠；
③卖3包小包装比卖1包大包装盈利多；
④卖1包大包装比卖3包小包装盈利多.
所有正确的说法是
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
注意事项：
1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中.
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚.
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中横线上.）
13．设 ，则 =_________.
14．已知二项式 的展开式中所有项的系数之和等于64，那么这个展开式中含x2项的系数是_________.
15．有一块长方形的窗台，尺寸为1米×0.2米，现有足够多规格相同的白色壁砖和蓝色壁砖（规模为0.2米×0.2米），用这些整块壁砖贴满窗台（空隙忽略不计），可以贴成_________种不同图案.
16．如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的，现用一个平面去截这个几何体，若这个平面垂直于圆柱底面所在的平面，那么所截得的图形可能是图中的_________.（把所有可能的图的序号都填上）
三、解答题：（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本小题满分12分）
已知函数 ＞0）的周期为 .
(1)求 的值；
(2)当0≤ ≤ 时，求函数的最大值和最小值以及相应的 的值.
18．（本小题满分12分）
已知等比数列 共有m项(m≥3)，且各项均为正数， =1， + + =7.
（1）求数列 的通项 ；
（2）若数列 是等差数列，且b1= 1，bm= m，判断数列 前m项的和 与数列 的前m项和Tm的大小并加以证明.
19．（本小题满分12分）
如图，在所有棱长均为 的正三棱柱ABC—A¬1B1C¬1中，D为BC的中点.
（1）求证：AD⊥BC1；
（2）求二面角A—BC1—D的大小；
（3）求点B1到平面ABC1的距离.
20．（本小题满分12分）
某工厂要制造一个容积为54 的密封圆柱形油桶，要求用料最省，用工最少（简便易行）.现有三种不同规格的金属制桶材料：（1）24×8.5,（2）32×6,（3）16×12（单位：dm）.请你选择其中一种规格，并说明理由.
21．(本小题满分12分)
已知定义在R上的奇函数f(x)，在x∈（0，1）时， f(x)= 且f(－1)=f(1).
（1）求f(x)上x∈［－1，1］上的解析式；
（2）证明在x∈（0，1）时f(x)＜ ；
（3）若x∈（0，1），常数 ，解关于x的不等式f(x)＞ .
22．（本小题满分14分）
已知A（－2，0），B（2，0），动点P与A、B两点连线的斜率分别为 和 ，且满足 • =t (t≠0且t≠－1).
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）当t＜0时，曲线C的两焦点为F1，F2，若曲线C上存在点Q使得∠F1QF2=120O，
求t的取值范围.
2005年江苏省高三数学示范卷
参考答案及评分标准 2004-6-9
第Ⅰ卷
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题 号123456789101112
答 案CAABBBBABCBD
第Ⅱ卷
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．1； 14．135； 15．32； 16．（1）（3）
三、17．（本小题满分12分）
解：（1） ……………………3分
∵T= ，∴ =2 ………………………………………………………………………5分
（2）由（1）得 …………………………………………………6分
∵0≤ ≤ ，∴ ≤4 + ≤ ，∴ ∈［0， ］……………………………8分
当x= 时，y有最小值为0. …………………………………………………………10分
当x= 时，y有最大值为 .…………………………………………………………12分
18．（本小题满分12分）
解：（1）设等比数列 的公比为q，则1+q+q2=7，∴q=2或q=－3，
∵ 的各项均为正数，∴q=2.………………………………………………………4分
所以 = .……………………………………………………………………………5分
（2）由 = 得 .………………………………………………………6分
数列 是等差数列，b1=a1=1，bm=am=2m－1，
而Tm=(b1－ )+(b2－ )+(b3－ )+……+(bm－ )=（b1+b2+b3+……+bm）－
= m－ = m=m• …………………………………………………8分
∵Tm－Sm= m• －( －1)=(m－4) +1，…………………………………10分
∴当m=3时，T3－S3=－1，∴T3＜S3. ∴当m≥4时，Tm＞Sm.……………………12分
19．（本小题满分12分）
解：（1）在正三棱柱ABC—A1B1C1中，CC1⊥面ABC，∴面ABC⊥面B1C1CB；
∵D为BC中点，∴AD⊥BC，∴AD⊥面B1C1CB，…………………………………2分
∵BC1 面B1C1CB，∴AD⊥BC1. ……………………………………………………4分
（2）过D作C1B的垂线DE，垂足是E，连AE.由（1）知，AD⊥面B1C1CB，
∴AE在面B1C1CB上的射影是DE，故AE⊥BC1，
∴∠AED就是二面角A—BC1—D的平面角. …………………………………………6分
依题设, BC1= a, 故在△BC1D中, DE= = = ，
又AD= a, 在Rt△ADE中，tg∠AED= = = .
∴二面角A—BC1—D的大小为arctg .………………………………………………8分
(3)依题设，AC1=BC1= , 取AB的中点F，连C1F，则C1F= .
设B1到面ABC1的距离为d，则由 = ，
得 = ，………………………………………………………10分
= ，d= ，即B1到面ABC1的距离为 . 12分
20.(本小题满分12分)
解：设圆柱形油桶的底面半径为r(dm)，则圆柱形油桶的高为 = ，………2分
则圆柱形油桶的全面积为S= + = +
= ≥ ,…………………………………6分
故当 = ，即r=3，高为6时用料最省为54 (dm2). ……………………………8分
∵24×8.5=204，32×6=192，16×12=192，
又54 ＜192, 故用规格(1)浪费较多,从规格(2)(3)中选用工较少者. ………………10分
如图比较得,规格(2)用工较少,故选用规格(2)较好. …………………………………12分
21.(本小题满分12分)
解：（1）∵f（x）是R上的奇函数且x (0,1)时，f(x)= ，
∴当x （－1，0）时，f（x）= －f（－x）= =－ .…………………1分
又由于f(x)为奇函数,
∴f（0）=－f（－0）, ∴f（0）=0, …………………………………………………2分
又f（－1）=－f（1）, f（－1）=f（1）,
∴f（－1）=f（1）=0. ……………………………………………………………………3分
－ ， x∈（－1，0）；
综上所述，当x∈［－1，1］时，f（x）= ， x∈（0，1）；……………4分
0，x∈
(2)当x∈（0，1）时，f（x）= =（ ） ，…………………………………5分
≥2，当且仅当 = ，即x=0取等号. …………………………………………6分
∵x∈（0，1）， ∴不能取等号，∴ ＞2. …………………………………………7分
∴f（x）＜ .…………………………………………………………………………………8分
(3)当 ∈( )时, ∈（ ），
f（x）＞ ，即 － +1＜0，…………………………………………………………9分
设t= ∈(1,2)，不等式变为t2－ t+1＜0，
∵ ∈( ) ∴△= 2－4＞0，
∴ ＜t＜ .………………………………………………………10分
而当 ∈( )时， －1= ＜0，且1＜ ＜2，
∴1＜t＜ ,………………………………………………………………………11分
即0＜x＜ .
综上可知，不等式f（x）＞ 的解集是（0， ）. …………………12分
22.(本小题满分14分)
解：(1)设点P坐标为(x,y),依题意得 =t y2=t(x2－4) + =1
轨迹C的方程为 + =1（x≠ 2）. ……………………4分（缺x≠ 2得3分）
(2)当－1＜t＜0时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆，
设 =r1， = r2, 则r1+ r2=2a=4.
在△F1PF2中， =2c=4 ,…………………………………………………………6分
∵∠F1PF2=120O，由余弦定理，
得4c2=r +r －2r1r2 = r +r + r1r2
= (r1+r2)2－r1r2≥(r1+r2)2－( )2=3a2, ∴16（1+t）≥12, ∴t≥－ .
所以当－ ≤t＜0时，曲线上存在点Q使∠F1QF2=120O …………………………………8分
当t＜－1时，曲线C为焦点在y轴上的椭圆，
设 =r1， = r2，则r1+r2=2a=－4 t,
在△F1PF2中， =2c=4 .………………………………………………………10分
∵∠F1PF2=120O，由余弦定理，
得4c2=r +r －2r1r2 = r +r + r1r2
= (r1+r2)2－r1r2≥(r1+r2)2－( )2=3a2, ∴16（－1－t）≥－12t t≤－4. ………12分
所以当t≤－4时，曲线上存在点Q使∠F1QF2=120O
综上知当t＜0时，曲线上存在点Q使∠AQB=120O的t的取值范围是
.…………………………………………………………………………14分
注：17—22题如有其它解答，请各校自行制定统一的评分标准相应给分.
