基本信息
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2004年高中毕业班第一次质量预测题
数学（理工类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。
参考公式： 正棱锥、圆锥的侧面积公式
如果事件A、B互斥，那么
P（A+B）=P（A）+P（B）
如果事件A、B相互独立，那么 其中，c表示底面周长、l表示斜高或
P（A•B）=P（A）•P（B） 母线长
如果事件A在1次实验中发生的概率是 球的体积公式
P，那么n次独立重复实验中恰好发生k
次的概率 其中R表示球的半径
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1．设集合A={1，2，3}，集合B={a，b，c}，那么从集合A到集合B的一一映射的个数共
有（ ）
A．3B．6C．9D．18
2．函数 的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
3．设 、 在同
一坐标系下的图象大致是（ ）
4．将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．条件 p是 q的（ ）
A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件D．既不是充分条件又不是必要条件
6．若 是纯虚数，则 的值为（ ）
A． B．
C． D．
7．设函数 的值是（ ）
A． B． C． D．2
8．一质点在直线上从时刻t=0秒以速度 （米/秒）运动，则该质点在时刻
t=3秒时运动的路程为（ ）
A．4米B．8米C． D．
9． 等于（ ）
A．0B． C．1D．2
10．已知直线 与曲线 切于点（1，3），则b的值为（ ）
A．3B．－3C．5D．－5
11．如图，在棱长为3的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N
分别是棱A1B1、A1D1的中点，则点B到平面AMN的距
离是 （ ）
A． B．
C． D．2
12．设奇函数 上是增函数，且 若函数 对所有
的 都成立，当 时，则t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）
13．若 .
14．从－3，－2，－1，1，2，3中任取三个不同的数作为椭圆方程 中的系
数，则确定不同椭圆的个数为 .
15．已知数列1， 成等差数列， 成等比数列，则 的值为 .
16．过双曲线 的右焦点F（c，0）的直线交双曲线于M、N两点，交y轴于P
点，则有 的定值为 类比双曲线这一结论，在椭圆 （a＞b
＞0）中， 是定值 .
三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
△ABC中，三个内角分别是A、B、C，向量
时，求 .
18．（本小题满分12分）
为了测试甲、乙两名射击运动员的射击水平，让他们各向目标靶射出10次，其中甲击中目标7次，乙击中目标6次，若再让甲、乙两人各自向目标靶射击3次，求：
（1）甲运动员恰好击中目标2次的概率是多少？
（2）两名运动员都恰好击中目标2次的概率是多少？（结果保留两个有效数字）.
19．（本小题满分12分）
在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，侧棱是底面边长的2倍，P是侧棱CC1上的任一点.
（1）求证：不论P在侧棱CC1上何位置，总有BD⊥AP；
（2）若CC1=3C1P，求平面AB1P与平面ABCD所成二面角的余弦值；
（3）当P点在侧棱CC1上何处时，AP在平面B1AC上的射影是∠B1AC的平分线.
20．（本小题满分12分）
设数列 是等比数列， ，公比q是 的展开式中的第二项
（按x的降幂排列）.
（1）用n，x表示通项an与前n项和Sn；
（2）若 ，用n，x表示An.
21．（本小题满分12分）
已知点H（－6，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足
（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；
（2）过点T（－2，0）作直线l与轨迹C交于A、B两点，若在x轴上存在一点 ，
使得△AEB是以点E为直角顶点的直角三角形，求直线l的斜率k的取值范围.
22．（本小题满分14分）
对于函数 ，若存在实数 ，使 成立，则称 为 的不动点.
（1）当a=2，b=－2时，求 的不动点；
（2）若对于任何实数b，函数 恒有两相异的不动点，求实数a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若 的图象上A、B两点的横坐标是函数 的不动点，
且直线 是线段AB的垂直平分线，求实数b的取值范围.
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2004年高中毕业班第一次质量预测题
数学（理工类）参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
1.B 2.C 3.B 4.C 5.A 6.B 7.C 8.D 9.D 10.A 11.D 12.C
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．2003； 14．18； 15． ； 16．
三、解答题：本大题6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．解 ，
18．解：依题意，知
甲运动员向目标靶射击1次，击中目标的概率为 ；
乙运动员向目标靶射击1次，击中目标的概率为
（1）甲运动员向目标靶射击3次，恰好击中目标2次的概率是
（2）甲、乙两运动员各自向目标靶射击3次，恰好都击中目标2次的概率是
19．解（1）由题意可知，不论P点在棱CC1上的任何位置，AP在底面ABCD内射影都是
AC， ，
（2）延长B1P和BC，设B1P∩BC=M，连结AM，则AM=平面AB1P∩平面ABCD. 过B作BQ⊥AM于Q，连结B1Q，由于BQ是B1；Q在底面ABCD内的射影，所以B1Q⊥AM，故∠B1QB就是所求二面角的平面角，依题意，知CM=2B1C1，从而BM=3BC. 所以
. 在
中，
，
得
为所求.
（3）设CP=a，BC=m，则BB1=2m，C1P=2m－a，从而
在
依题意，得 . .
.
即
故P距C点的距离是侧棱的
别解：如图，建立空间直角坐标系.
设
依题意，得
即
故P距C点的距离是侧棱的
20．解（1）
由
（2）当x=1时，Sn=n，
又
当
21．解（1）设点M的坐标为
由
由点Q在x轴的正半轴上，得 .
所以，动点M的轨迹C是以（0，0）为顶点，以（2，0）为焦点的抛物线，除去原点.
（2）设直线
设 的两个实数根，由韦达定理得
，
所以，线段AB的中点坐标为
而
轴上存在一点E，使△AEB为以点E为直角顶点的直角三角形，
∴点F到x轴的距离不大于
所以
化简得 ，解之得 ，结合（*）得
又因为直线 的斜率 所以 ，显然
故所求直线 的斜率k的取值范围为
22．解
（1）当a=2，b=－2时， 设x为其不动点，即
则 的不动点是－1，2.
（2）由 得： .
由已知，此方程有相异二实根，
恒成立，即
即 对任意 恒成立.
（3）设 ，
直线 是线段AB的垂直平分线，
记AB的中点 由（2）知
化简得： 时，等号成立）.
即
