基本信息
第九讲 数列与递进
知识、方法、技能
数列是中学数学中一个重要的课题，也是数学竞赛中经常出现的问题.
所谓数列就是按一定次序排列的一列数.数列的一般形式是a1, a2, …,an, …通常简记为{an}.如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式.
从函数的角度看，数列可以看做是一个函数，定义域是自然数集或自然数集的一个有限子集，函数表达式就是数列的通项公式.
对于数列{an}，把Sn=a1+a2+…+an叫做数列{an}的前n项和，则有
I．等差数列与等比数列
1．等差数列
（1）定义：
赛题精讲
例1 设数列{an}的前n项和Sn=2an－1(n=1, 2,…)，数列{bn}满足b1=3, bk+1=bk+ak(k=1,2，…)，求数列{bn}的前n项之和.
（1996年全国数学联赛二试题1）
【思路分析】欲求数列{bn}前n项和，需先求bn. 由ak=bk+1－b¬¬k, 知求ak即可，利用
ak=Sk－Sk－1(k=2, 3, 4,…)可求出ak.
【略解】由Sn=2an－1和a1=S1=2a1－1,得a1=1, 又an=Sn－Sn－1=2an－2an－1,即an=2an－1,因此{an}是首项为1，公比为2的等比数列，则有an=2n－1.
由ak=bk+1－bk，取k=1,2,…,n－1得
a1=b2－b¬1, a2=b3－b2, a3=b4－b3, …, an－1=bn－bn－1,将上面n－1个等式相加，得bn－b1=a1+a2+…+an. 即bn=b1+a1+a2+…+an=3+(1+2+22+…+2n－1)=2n－1+2,所以数列{bn}的前n项和为
Sn′=（2+1）+（2+2）+（2+22）+…+（2+2n－1）=2n+2n－1.
【评述】求数列的前n 项和，一般情况必须先研究通项，才可确定求和的方法.
例2 求证：若三角形的三内角成等差数列，对应的三边成等比数列，则此三角形必是正三角形.
【思路分析】由△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，知∠B=60°，三个角可设为60°－d, 60°, 60°+d，其中d为常数；又由对应的三边a、b、c成等比数列，知b2=ac，或将三边记为a、aq、aq2，其中q为正常数，由此知要证此三角形为正三角形只须证明d=0或q=1或a=b=c.
【证】设△ABC的三个内角为A、B、C及其对边a、b、c，依题意b2=ac, ∠B=60°.
【方法1】由余弦定理，得
整理得(a－c)2=0因此a=c.
故△ABC为正三角形.
【方法2】设a、b、c三边依次为a、aq、aq2，由余弦定理有
cosB= ,整理得q4－2q2+1=0,解得q=1, q=－1（舍去）
所以a=b=c,故此△ABC为正三角形.
