基本信息
2008届全国百套高考数学模拟试题分类汇编
08圆锥曲线
三、解答题(第二部分)
26、(福建省泉州一中高2008届第一次模拟检测)已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的离心率为 ，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点。
（1）求直线ON（O为坐标原点）的斜率KON ；
（2）对于椭圆C上任意一点M ，试证：总存在角 （ ∈R）使等式： ＝cos ＋sin 成立。
解：(1）设椭圆的焦距为2c,因为 ，所以有 ，故有 。从而椭圆C的方程可化为： ① ………2分
易知右焦点F的坐标为（ ），
据题意有AB所在的直线方程为： ② ………3分
由①，②有： ③
设 ，弦AB的中点 ，由③及韦达定理有：
所以 ，即为所求。 ………5分
(2）显然 与 可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量 ，有且只有一对实数 ，使得等式 成立。设 ，由1）中各点的坐标有：
，所以
。 ………7分
又点在椭圆C上，所以有 整理为 。 ④
由③有： 。所以
⑤
又A﹑B在椭圆上，故有 ⑥
将⑤，⑥代入④可得： 。 ………11分
对于椭圆上的每一个点 ，总存在一对实数，使等式 成立，而
在直角坐标系 中，取点P（ ），设以x轴正半轴为始边，以射线OP为终边的角为 ，显然 。
也就是：对于椭圆C上任意一点M ，总存在角 （ ∈R）使等式： ＝cos ＋sin 成立。
27、(福建省厦门市2008学年高三质量检查)已知曲线C上任意一点M到点F（0，1）的距离比它到直线 的距离小1。
（1）求曲线C的方程；
（2）过点
①当 的方程；
②当△AOB的面积为 时（O为坐标原点），求 的值。
（1）解法一：设 ，…………1分
即
