高考数学知识模块复习指导学案——不等式【II】

例3  已知i、m、n是正整数，且1<i≤m<n，

（1）证明：nⁱA_mⁱ<mⁱA_nⁱ;

（2）证明：。

证明  （1）对于1<i≤m，有A_mⁱ=m……(m－i+1),∵=·……，

同理=·……。

由于m<n，∵对于整数k=1,2,…,i－1，有>，所以>

即  mⁱA_nⁱ>nⁱA_mⁱ

（2）由二项式定理有

(1+m)ⁿ=1+C_n¹m+C_n²m²+…+C_nⁿmⁿ

(1+n)^m=1+C_m¹n+C_m²n²+…+C_m^mn^m

由（1）知mⁱA_nⁱ>nⁱA_mⁱ (1<i≤m<n)

而C_mⁱ=, C_nⁱ=,°

∴mⁱC_nⁱ>nⁱC_mⁱ (ki≤m<n)

∴m⁰C_n⁰= n⁰C_n⁰=1, mC_n¹= nC_m¹=m·n, m²C_n²>,…m^mC_n^m> n^mC_m^m, m^m+1C_n^m+1 >0,…, m^mC_nⁿ >0,

∴1+ C_n¹m + C_n²m²+…+ C_nⁿmⁿ >1+ C_m¹n+ C_m²n² +…+ C_m^mnⁿ，即

处理 SSI 文件时出错