2011届高三毕业班数学课本知识点整理归纳之九

、基础知识不等式的基本性质：（1）a>b a-b>0； （2）a>b, b>c a>c；（3）a>b a+c>b+c； （4）a>b, c>0 ac>bc；（5）a>b, c<0 acb>0, c>d>0 ac>bd; （7）a>b>0, n∈n+ an>bn; （8）a>b>0, n∈n+ ; （9）a>0, |x|a x>a或x<-a; （10）a, b∈r，则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|; （11）a, b∈r，则(a-b)2≥0 a2+b2≥2ab; （12）x, y, z∈r+，则x+y≥2 , x+y+z 前五条是显然的，以下从第六条开始给出证明。（6）因为a>b>0, c>d>0，所以ac>bc, bc>bd，所以ac>bd；重复利用性质（6），可得性质（7）；再证性质（8），用反证法，若 ，由性质（7）得 ，即a≤b，与a>b矛盾，所以假设不成立，所以 ；由绝对值的意义知（9）成立；-|a|≤a≤|a|, -|b|≤b≤|b|，所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|，所以|a+b|≤|a|+|b|；下面再证（10）的左边，因为|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|b|，所以|a|-|b|≤|a+b|，所以（10）成立；（11）显然成立；下证（12），因为x+y-2 ≥0，所以x+y≥ ，当且仅当x=y时，等号成立，再证另一不等式，令 ，因为x3+b3+c3-3abc =(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc =(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)= (a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2] ≥0，所以a3+b3+c3≥3abc，即x+y+z≥ ，等号当且仅当x=y=z时成立。 二、方法与例题 1．不等式证明的基本方法。（1）比较法，在证明a>b或a0）与1比较大小，最后得出结论。例1 设a, b, c∈r+，试证：对任意实数x, y, z, 有x2+y2+z2 【证明】 左边-右边= x2+y2+z2

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