基本信息
一、基础知识定义1 映射，对于任意两个集合a，b，依对应法则f，若对a中的任意一个元素x，在b中都有唯一一个元素与之对应，则称f: a→b为一个映射。定义2 单射，若f: a→b是一个映射且对任意x, y∈a, x y, 都有f(x) f(y)则称之为单射。定义3 满射，若f: a→b是映射且对任意y∈b，都有一个x∈a使得f(x)=y，则称f: a→b是a到b上的满射。定义4 一一映射，若f: a→b既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从b到a由相反的对应法则f-1构成的映射，记作f-1: a→b。定义5 函数，映射f: a→b中，若a，b都是非空数集，则这个映射为函数。a称为它的定义域，若x∈a, y∈b，且f(x)=y（即x对应b中的y），则y叫做x的象，x叫y的原象。集合{f(x)|x∈a}叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y=3 -1的定义域为{x|x≥0,x∈r}. 定义6 反函数，若函数f: a→b（通常记作y=f(x)）是一一映射，则它的逆映射f-1: a→b叫原函数的反函数，通常写作y=f-1(x). 这里求反函数的过程是：在解析式y=f(x)中反解x得x=f-1(y)，然后将x, y互换得y=f-1(x)，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如：函数y= 的反函数是y=1- (x 0). 定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称。定理2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。定义7 函数的性质。（1）单调性：设函数f(x)在区间i上满足对任意的x1, x2∈i并且x1< x2，总有f(x1)f(x2))，则称f(x)在区间i上是增（减）函数，区间i称为单调增（减）区间。（2）奇偶性：设函数y=f(x)的定义域为d，且d是关于原点对称的数集，若对于任意的x∈d，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)是奇函数；若对任意的x∈d，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)是偶函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。（3）周期性：对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数t，使得当x取定义域内每一个数时，f(x+t)=f(x)总成立，则称f(x)为周期函数，t称为这个函数的周期，如果周期中存在最小的正数t0，则这个正数叫做函数f(x)的最小正周期。定义8 如果实数aa}记作开区间（a, +∞），集合{x|x≤a}记作半开半闭区间（-∞,a]. 定义9 函数的图象，点集{(x,y)|y=f(x), x∈d}称为函数y=f(x)的图象，其中d为f(x)的定义域。通过画图不难得出函数y=f(x)的图象与其他函数图象之间的关系(a,b>0)；（1）向右平移a个单位得到y=f(x-a)的图象；（2）向左平移a个单位得到y=f(x+a)的图象；（3）向下平移b个单位得到y=f(x)-b的图象；（4）与函数y=f(-x)的图象关于y轴对称；（5）与函数y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称；（6）与函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称；（7）与函数y=-f(x)的图象关于x轴对称。定理3 复合函数y=f[g(x)]的单调性，记住四个字：“同增异减”。例如y= , u=2-x在（-∞,2）上是减函数，y= 在（0，+∞）上是减函数，所以y=
