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第七章 解三角形 一、基础知识 在本章中约定用a，b，c分别表示△abc的三个内角，a, b, c分别表示它们所对的各边长，为半周长。 1．正弦定理：=2r（r为△abc外接圆半径）。 推论1：△abc的面积为s△abc= 推论2：在△abc中，有bcosc+ccosb=a. 推论3：在△abc中，a+b=，解a满足，则a=a. 正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。先证推论1，由正弦函数定义，bc边上的高为bsinc，所以s△abc=；再证推论2，因为b+c=-a，所以sin(b+c)=sina，即sinbcosc+cosbsinc=sina，两边同乘以2r得bcosc+ccosb=a；再证推论3，由正弦定理，所以，即sinasin(-a)=sin(-a)sina，等价于[cos(-a+a)-cos(-a-a)]= [cos(-a+a)-cos(-a-a)]，等价于cos(-a+a)=cos(-a+a)，因为0<-a+a，-a+a<. 所以只有-a+a=-a+a，所以a=a，得证。 2．余弦定理：a2=b2+c2-2bccosa，下面用余弦定理证明几个常用的结论。 （1）斯特瓦特定理：在△abc中，d是bc边上任意一点，bd=p，dc=q，则ad2= （1） 【证明】 因为c2=ab2=ad2+bd2-2ad·bdcos， 所以c2=ad2+p2-2ad·pcos ① 同理b2=ad2+q2-2ad·qcos，
