基本信息
第一章 解三角形本章概览三维目标 1．掌握正、余弦定理，能初步利用这两个定理解斜三角形。能利用计算器解决有关解斜三角形的计算问题，能够利用正、余弦定理等知识、方法解决一些与测量以及与几何计算的有关的实际问题。 2．通过对三角形的边角关系的探究学习，体验数学探究活动的过程，培养探索精神和创新意识；在运用正、余弦定理解决一些实际问题的过程中，逐步养成实事求是、扎实严谨的科学态度，学会用数学的思维方式解决问题、认识世界；通过实习作业，体会“解三角形在测量中的应用”，提高应用数学知识解决实际问题的能力和实际操作能力；通过学习和应用，进一步体会数学的科学价值、应用价值，进而领会数学的人文价值、美学价值，不断提高自身的文化素养，并且由正、余弦定理的形式能感受到数学的美。 3．通过对正、余弦定理的学习，要求对于三角形的的相关问题的解决能灵活地根据具体问题去恰当处理。总之，有了正、余弦定理之后，又给解决三角形的问题提供了一种新的思路，对于具体问题的解决都要具体分析，灵活地运用所学知识去应对实际生活中的各种可能的问题。 4．本章中的有关三角形的一些实际问题，往往动笔计算比较复杂，象这样的问题的计算就要求大家能用计算器或电脑来帮助计算，能根据精确度的需要保留相应的位数。尽管科学技术发展很快，但必要的计算能力对于一个现代人还是有必要的，所以平时大家还要注意训练自己的运算速度与准确性，时刻注意锻炼自己的意志力。 5．本章学习了正、余弦定理后，对于以后遇到相关三角形的问题时，应当时时注意考虑运用这两个定理去解决相关问题，但与此同时也不能忽视其它方面的知识的应用，否则可能问题不能顺利解决，时时注意前后知识的关联。本章知识网络 1.1 正弦定理和余弦定理第一版块三点剖析一、正弦定理及其证明正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 正弦定理揭示的是一般三角形中的重要边角关系，它们是解三角形的两个重要定理之一。对于正弦定理，课本首先引导学生回忆任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系，引导学生思考是否能得到这个边、角关系准确量化表示的问题。由于涉及边角之间的数量关系，就比较自然地引导到三角函数。在直角三角形中，边之间的比就是锐角的三角函数。研究特殊的直角三角形中的正弦，就很快证明了直角三角形中的正弦定理。分析直角三角形中的正弦定理，考察结论是否适用于锐角三角形，可以发现asinb和bsina实际上表示了锐角三角形边ab上的高。这样，利用高的两个不同表示，就容易证明锐角三角形中的正弦定理。钝角三角形中定理的证明要应用正弦函数的诱导钝角三角形中定理的证明要应用正弦函数的诱导公式，教科书要求学生自己通过探究来加以证明。可以考虑采用向量的知识来证明。 二、余弦定理及其证明余弦定理 在一个三角形中，任一边的平方都等于其它两边的平方和减去这两边与其夹角的余弦的积的 倍，即 ； ； ；余弦定理同样揭示的是一般三角形中的重要边角关系，它们是解三角形的两个重要定理之一。由直角三角形三边间的关系，归纳猜想任意三角形的边角间的关系。自己学会探索、并试着去从理论上去解决。通过这个定理的探索并去从理论上证明，作为一个现代中学生，要掌握一些研究事物的方法、要学会学习，善于提出问题，并且试着去解决问题。同样这个定理的证明也是采用了向量的相关知识很容易得到解决，向量知识在数学上的一个具体应用，这也体现了数学科学的特点之一：前后知识间联系紧密。这也要求大家能够将前后知识联系起来，而不应该是孤立地来学习某部分知识，而不善于将所学恰当地应用，这也要求大家能够活学活用。当然这两个定理的证明证明方法，自己还可以考虑采用比如平面几何知识等其它的方法，以锻炼自己的能力。 三、正弦定理和余弦定理的应用正弦定理的应用： 1．用正弦定理解三角形是正弦定理的一个直接应用，正弦定理可以用于两类解三角形的问题： （１）已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边和另一角。 （２） 已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其他的边和角. ２．三角形解的个数一般地，已知两边和其中一边的对角解斜三角形（已知a, b和a），用正弦定理求b时的各种情况： ⑴若a为锐角时: ，如下图所
