§15.4 不等式选讲 1．理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件： a＋b≤a＋b； a－b≤a－c＋c－b. 2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： ax＋b≤c；ax＋b≥c；x－a＋x－b≥c. 3．通过一些简单问题，了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法． 1．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥__________(a，b∈r)，当且仅当__________时，等号成立． (2)a＋b2≥__________(a，b>0)，当且仅当__________时，等号成立． (3)a＋b＋c3≥__________(a，b，c>0)，当且仅当________时，等号成立． (4)a1＋a2＋…＋ann≥______________(ai>0，i＝1，2，…，n)，当且仅当__________________时，等号成立． 2．绝对值不等式 (1)定理1：如果a，b是实数，那么a＋b≤__________，当且仅当__________时，等号成立． (2)定理2：如果a，b，c是实数，那么a－c≤__________，当且仅当____________时，等号成立． (3)x
a⇔_____________． 3．证明不等式的方法 (1)比较法比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小． (2)综合法一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的______、______而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法，综合法又叫顺推证法或__________法． (3)分析法 ①证明命题时，我们还常常从要证的______出发，逐步寻求使它成立的________，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种__________的思考和证明方法． ②当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以__________寻找证明的思路，而用__________叙述、表达整个证明过程． (4)反证法先假设要证的命题____________，以此为出发点，结合________，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的________，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)__________的结论，以说明假设________，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． (5)放缩法证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． (6)数学归纳法与自然数n有关的不等式可考虑用数学归纳法证明(详见第十三章“推理与证明”)． 《自查自纠》 1．(1)2ab a＝b (2)ab a＝b (3)3abc a＝b＝c (4)na1a2…an a1＝a2＝…＝an 2．(1)a＋b ab≥0 (2)a－b＋b－c (a－b)(b－c)≥0 (3)－a
