喜讯：2016年高考真题——理科数学（新课标1卷）第21题  命中12分

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【高考真题】

（21）（本小题满分12分）已知函数有两个零点.

（I）求a的取值范围；

（II）设x₁，x₂是的两个零点，证明：+x₂<2.

【答案】（21）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）．

（i）设，则，只有一个零点．

（ii）设，则当时，；当时，．

所以在上单调递减，在上单调递增．

又，，取满足且，则

，

故存在两个零点．

（iii）设，由得或．

若，则，故当时，，

因此在上单调递增．又当时，，所以不存在两个零点．

若，则，故当时，；

当时，．因此在单调递减，在单调递增．

又当时，，所以不存在两个零点．

综上，的取值范围为．

（Ⅱ）不妨设，由（Ⅰ）知，，

在上单调递减，所以等价于，即．

由于，而，所以

．

设，则．

所以当时，，而，故当时，．

从而，故．

【命中试题】

1.【KS5U2016新课标Ⅰ高考压轴卷 数学（理）第21题】

/down/2016-5/12/2140072.shtml

21（本小题满分12分）

已知函数f（x）=（x²﹣3x+3）•e^x，设t＞﹣2．

（Ⅰ）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数；

（Ⅱ）求证：对于任意的t＞﹣2，总存在x₀∈（﹣2，t），满足，

并确定这样的x₀的个数．

【答案】21解：（1）因为f′（x）=（2x﹣3）e^x+（x²﹣3x+3）e^x，

由f′（x）＞0⇒x＞1或x＜0，

由f′（x）＜0⇒0＜x＜1，

∴函数f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，

要使函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数，则﹣2＜t≤0，

（2）证：∵，∴，

即为x₀²﹣x₀=，令g（x）=x²﹣x﹣，

从而问题转化为证明方程g（x）==0在（﹣2，t）上有解并讨论解的个数，

因为g（﹣2）=6﹣（t﹣1）²=﹣，

g（t）=t（t﹣1）﹣=，

所以当t＞4或﹣2＜t＜1时，g（﹣2）•g（t）＜0，

所以g（x）=0在（﹣2，t）上有解，且只有一解，

当1＜t＜4时，g（﹣2）＞0且g（t）＞0，

但由于g（0）=﹣＜0，所以g（x）=0在（﹣2，t）上有解，且有两解，

当t=1时，g（x）=x²﹣x=0，解得x=0或1，

所以g（x）=0在（﹣2，t）上有且只有一解，

当t=4时，g（x）=x²﹣x﹣6=0，

所以g（x）=0在（﹣2，t）上也有且只有一解，

综上所述，对于任意的t＞﹣2，总存在x₀∈（﹣2，t），满足 ，

且当t≥4或﹣2＜t≤1时，有唯一的x₀适合题意，

当1＜t＜4时，有两个x₀适合题意