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喜讯：2018年高考真题——理科数学（全国卷I）第21题 共命中24分2018-07-03 11:43:00　阅读 次 参与讨论()

https://www.ks5u.com/down/2018-6/8/3242892.shtml

21．（12分）

已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若存在两个极值点，证明：．

【答案】解:（1）的定义域为，.

（i）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.

（ii）若，令得，或.

当时，；

当时，.所以在单调递减，在单调递增.

（2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当.

由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则.由于

，

所以等价于.

设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，.

所以，即.

【命中试题一】 2018年全国统一考试最新高考信息卷（九） 第21题

           https://www.ks5u.com/down/2018-5/25/3219769.shtml

21．（12分）已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数有两个零点，，且，证明：

【答案】（1）当时，知在上递减；当时，在上递减，在上递增；（2）证明见解析．

【解析】（1），，

当时，，知在上是递减的；

当时，，

知在上是递减的，在上递增的．

（2）由（1）知，，，

依题意，即，

由得，，，，

由及得，，即，

欲证，只要，

注意到在上是递减的，且，

只要证明即可，

由得，

所以

，，

令，，

则，知在上是递增的，于是，即，综上，．

【命中试题二】 2018年普通高校全国统一考试仿真卷（二） 第21题

https://www.ks5u.com/down/2018-4/5/3136691.shtml

21．已知函数．

（1）讨论函数在上的单调性；

（2）证明：且．

【答案】（1）的极小值为，极大值为；（2）．

【解析】（1），．

所以的极小值为，极大值为．

（2）由（1）可知当时，函数的最大值为，

对于任意，，总有成立，等价于恒成立，

．

①时，因为，所以，

即在上单调递增，恒成立，符合题意．

②当时，设，，

所以在上单调递增，且，则存在，使得，

所以在上单调递减，在上单调递增，又，

所以不恒成立，不合题意．

综合①②可知，所求实数的取值范围是．