喜讯:2018年高考真题——数学(理)(天津卷) 导数 (命中14 分) 【高考真题】2018年高考真题——数学(理)(天津卷)第20题 14分 /down/2018-6/9/3244269.shtml 已知函数,,其中a>1. (I)求函数的单调区间; (II)若曲线在点处的切线与曲线在点 处的切线平行,证明; (III)证明当时,存在直线l,使l是曲线的切线,也是曲线的切线. 【答案】(I)解:由已知,,有. 令,解得x=0. 由a>1,可知当x变化时,,的变化情况如下表:
所以函数的单调递减区间,单调递增区间为. (II)证明:由,可得曲线在点处的切线斜率为. 由,可得曲线在点处的切线斜率为. 因为这两条切线平行,故有,即. 两边取以a为底的对数,得,所以. (III)证明:曲线在点处的切线l1:. 曲线在点处的切线l2:. 要证明当时,存在直线l,使l是曲线的切线,也是曲线的切线,只需证明当时,存在,,使得l1和l2重合. 即只需证明当时,方程组有解, 由①得,代入②,得. ③ 因此,只需证明当时,关于x1的方程③有实数解. 设函数,即要证明当时,函数存在零点.,可知时,;时,单调递减,又,,故存在唯一的x0,且x0>0,使得,即. 由此可得在上单调递增,在上单调递减. 在处取得极大值.因为,故, 所以. 下面证明存在实数t,使得.由(I)可得, 当时,有,所以存在实数t,使得因此,当时,存在,使得. 所以,当时,存在直线l,使l是曲线的切线,也是曲线的切线. 【命中试题一】北京市东城区2018年高三文科数学综合练习(二)(二模)试卷 Word版含答案 (Ⅰ)当时,求的单调区间和极值; (Ⅱ)若直线是曲线的切线,求的值. 【答案】解:的定义域为. (Ⅰ)当时,, 所以. 令,得, 因为,所以. 与在区间上的变化情况如下:
所以的单调递增区间为,单调递减区间. 有极大值,无极小值. (Ⅱ)因为,所以. 设直线与曲线的切点为(), 所以,即. 又因为, 即 所以. 设, 因为, 所以在区间上单调递增. 所以在区间上有且只有唯一的零点. 所以,即. 所以. |
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