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常见二次曲线弦与中点问题的解法
四川省新都一中(610500) 肖 宏
在解析几何中，我们经常遇到与二次曲线的弦和中点有关的问题，下面我们将其中几种归纳出它的简便解法，供大家参考。
一、定点弦方程
命题一：圆锥曲线C：f(x，y)＝0的以P(a，b)为中点的弦如果存在，则其所在的直线方程为：f(2a－x,2b－y)－f(x,y)＝0
证明：设弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
x2＝2a－x1 且 f(x1，y1)＝0
y2＝2a－y1 f(x2，y2)＝0
即 f(x1，y1)＝0 ①
f(2a－x1，2b－y1)＝0 ②
注意到在二次方程中，将x代换为2a－x，将y代换为2b－y，不会改变方程中二次项的系数，故将两式相减得：
f(2a－x1，2b－y1)－f(x1，y1)＝0 ③
则③式必为一次方程，而且该直线经过A点和P点，故方程
f(2a－x,2b－y)－f(x,y)＝0
就是所求中点弦所在直线的方程。
需要说明的是，如果所求中点弦不存在，而用此法求解时，仍然能够得到一个一次(直线)方程，但此一次方程与曲线C无公共点，因此，用此法求出的方程应该代回曲线C判定其△是否大于0，△＞0是这样的弦存在，△＝0时弦“退化”为切线，△＜0时弦不存在。
二、定点弦的中点轨迹
命题二：直线L经过定点P(a，b)与二次曲线C：Ax2＋By2＋Dx＋Ey＋F＝0相交，则相交弦的中点轨迹为：2Ax2＋2By2＋(D－2α)x＋(E－2bB)y－(aD＋bE)＝0
它是一条与曲线C同类的曲线(或其一部分)。
证明：设弦所在的直线方程为L：y＝k(x－a)＋b
则k＝y－bx－a ①
又设L与C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点为G(x，y)，则
