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三个二次的关系及待定系数法
命制人：刘高启
【学习目标】掌握并熟练应用三个二次之间的关系
了解待定系数法及其应用
【自主学习】
1、一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系
二次函数 的图像
跟踪1：解下列不等式
○1 ○2
跟踪2：关于 的方程 至少有一个负实根，求 的取值范围
2、待定系数法：一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的 可先把所求函数写为 ，其中系数 ，然后再根据提设条件求出这些待定系数，这种通过求待定系数来确定变量之间关系的方法就叫做待定系数法。
3、几种基本常初等函数的解析式
（1）已知一个正比例函数的图像通过点（2，8），求这个正比例函数。
结论1：正比例函数的一般形式是 ，给定一组非零值（x,y）即可求出待定系数k的值。
（2）对于一次函数 ，当 时， ，并且当 时， ，求这个一次函数。
（3）已知 是一次函数，并且有 ， ，求这个函数的解析式
结论2：一次函数的一般形式是 ，给定两组（x,y）的值即可求出待定系数 的值
（4）已知一个二次函数 ， 求这个函数
（5）根据下列条件，求二次函数 的解析式。
① 图像过点（2，0），（4，0）及点（0，3）；
② 图像顶点为（1，2），并且过点（0，4）；
③ 过点（1，1），（0，2），（3，5）。
结论3：一元二次函数有三种形式
○1一般式 ，这是二次函数的标准表达式，在此解析式中有三个待定的系数 ,给定抛物线上三个点的坐标，列出关于 的三元一次方程组，即可求出待定系数 的值
○2顶点式 是抛物线的顶点。当已知抛物线的顶点坐标或对称轴可以使用此法。
○3两根式 ，其中 就是方程的两根，即抛物线与 轴交点的横坐标。
【典例示范】
例1 已知函数 在区间 上是减函数，求 的取值范围。
例2：若 是一次函数， ，求其解析式
例3：已知一个二次函数 满足 且 最大值为8，试确定此二次函数。
例4：一根弹簧的原长是12cm,它能挂的重量不超过15kg,并且每挂重1kg就伸长 cm，挂重后的弹簧长度 与挂重 是一次函数的关系。
（1）求 与 的函数解析式。
（2）求自变量 的取值范围。
（3）画出这个函数的图像。
【归纳总结】
1. 什么是待定系数法？
2. 待定系数法成立的基本原理是什么？
3. 应用待定系数法解题的基本步骤是什么?
【快乐体验】
1.已知二次函数 ：
（1）求它的图像顶点的坐标和与 轴交点的坐标；
（2）作它的图像；
（3）求点 关于图像对称轴的对称点的坐标。
2.已知二次函数 的图像经过原点，且 ，求 的表达式。
