基本信息
利用导数处理与不等式有关的问题
关键词：导数，不等式，单调性，最值。
导数是研究函数性质的一种重要工具。例如求函数的单调区间、求最大（小）值、求函数的值域等等。而在处理与不等式有关的综合性问题时往往需要利用函数的性质；因此，很多时侯可以利用导数作为工具得出函数性质，从而解决不等式问题。下面具体讨论导数在解决与不等式有关的问题时的作用。
一、 利用导数证明不等式
（一）、利用导数得出函数单调性来证明不等式
我们知道函数在某个区间上的导数值大于（或小于）0时，则该函数在该区间上单调递增（或递减）。因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证明该函数的单调性,然后再用函数单调性达到证明不等式的目的。即把证明不等式转化为证明函数的单调性。具体有如下几种形式：
1、 直接构造函数，然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增（减）区间，自变量越大，函数值越大（小），来证明不等式成立。
例1：x>0时,求证；x －ln(1+x)＜0
证明：设f(x)= x －ln(1+x) (x>0), 则f (x)=
∵x>0,∴f (x)<0,故f(x)在（0，+∞）上递减，
所以x>0时,f(x)<f(0)=0，即x －ln(1+x)<0成立。
2、把不等式变形后再构造函数,然后利用导数证明该函数的单调性，达到证明不等式的目的。
例2：已知：a,b∈r,b>a>e, 求证:ab>b a, (e为自然对数的底)
证：要证ab>b a只需证lnab>lnba 即证：blna－alnb>0
设f(x)=xlna－alnx (x>a>e)；则f (x)=lna－ ,
∵a>e,x>a ∴lna>1, <1,∴f (x)>0,因而f(x)在（e, +∞）上递增
∵b>a,∴f(b)>f(a)；故blna－alnb>alna－alna=0；即blna>alnb
