基本信息
反证法在几何问题中的应用
浙江省永康市古山中学（321307） 吴汝龙
反证法是一种非常重要的数学方法，它在几何的应用极为广泛，在平面几何、立体几何、解析几何都有应用，本文选择几个有代表性的应用，举例加以介绍。
一、证明几何量之间的关系
例1：已知：四边形abcd中，e、f分别是ad、bc的中点， 。
求证： 。
证明：假设ab不平行于cd。如图，连结ac，取ac的中点g，连结eg、fg。
∵e、f、g分别是ad、bc、ac的中点，
∴ ， ； ， 。
∵ab不平行于cd，
∴ge和gf不共线，ge、gf、ef组成一个三角形。
∴ ①
但 ②
①与②矛盾。
∴
例2：直线 与平面 相交于 ，过点 在平面 内引直线 、 、 ， 。
求证： 。
证明：假设po不垂直平面 。
作 并与平面 相交于h，此时h、o不重合，连结oh。
由p作 于e， 于f，
根据三垂线定理可知， ， 。
∵ ，po是公共边，
∴
∴
又
∴
∴
因此，oh是 的平分线。
同理可证，oh是 的平分线。
但是，ob和oc是两条不重合的直线，oh不可能同时是 和 的平分线，产生矛盾。
∴ 。
例3：已知a、b、c、d是空间的四个点，ab、cd是异面直线。
