1．（本小题满分14分）
已知椭圆
的左、右焦点分别是f1（－c，0）、f2（c，0），q是椭圆外的动点，满足
点p是线段f1q与该椭圆的交点，点t在线段f2q上，并且满足
（ⅰ）设
为点p的横坐标，证明
；
（ⅱ）求点t的轨迹c的方程；
（ⅲ）试问：在点t的轨迹c上，是否存在点m，
使△f1mf2的面积s=
若存在，求∠f1mf2
的正切值；若不存在，请说明理由.
本小题主要考查平面向量的概率，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分.
（ⅰ）证法一：设点p的坐标为
由p
在椭圆上，得
由
，所以 
………………………3分
证法二：设点p的坐标为记
则
由
证法三：设点p的坐标为椭圆的左准线方程为
由椭圆第二定义得
，即
由
，所以…………………………3分
（ⅱ）解法一：设点t的坐标为
当
时，点（
，0）和点（－，0）在轨迹上.
当|
时，由
，得
.
又
，所以t为线段f2q的中点.
在△qf1f2中，
，所以有
综上所述，点t的轨迹c的方程是…………………………7分
解法二：设点t的坐标为 当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.
当|时，由
，得.
又，所以t为线段f2q的中点.
设点q的坐标为（
），则
因此
①
由
得
②
将①代入②，可得
综上所述，点t的轨迹c的方程是……………………7分
③ ④
（ⅲ）解法一：c上存在点m（
）使s=
的充要条件是
由③得
，由④得
所以，当
时，存在点m，使s=；
当
时，不存在满足条件的点m.………………………11分
当时，
，
由
，
，
，得
解法二：c上存在点m（）使s=的充要条件是
③ ④
由④得 上式代入③得
于是，当时，存在点m，使s=；
当时，不存在满足条件的点m.………………………11分
当时，记
，
由
知
，所以
…………14分
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