1．(本小题满分14分)
已知动圆过定点
，且与直线
相切，其中
.
（i）求动圆圆心
的轨迹的方程；
（ii）设a、b是轨迹上异于原点
的两个不同点，直线
和
的倾斜角分别为
和
，当
变化且
为定值
时，证明直线
恒过定点，并求出该定点的坐标.
解：（i）如图，设
为动圆圆心，为记为
，过点作直线的垂线，垂足为
，由题意知：
即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中
为焦点，为准线，所以轨迹方程为
；
（ii）如图，设
，由题意得
（否则
）且
所以直线的斜率存在，设其方程为
，显然
，将与联立消去
，得
由韦达定理知
①
（1）当
时，即
时，
所以
，
所以
由①知：
所以
因此直线的方程可表示为
，即
所以直线恒过定点
（2）当
时，由
，得
=
=
将①式代入上式整理化简可得：
，所以
，
此时，直线的方程可表示为
即
所以直线恒过定点
所以由（1）（2）知，当时，直线恒过定点，当时直线恒过定点.
资源难易程度:★★★★★★★★★★★★★★★
高考资源网版权所有 ©2005-2014
未经许可，盗用或转载本站资料者，本站将追究其法律责任！
