2014-2015年高二理科数学期末复习专项训练六
复习内容：分布列含解析 高二理科数学组命制
一．选择题（共11小题）
1．一支足球队每场比赛获胜（得3分）的概率为a，与对手踢平（得1分）的概率为b，负于对手（得0分）的概率为c（a，b，c∈（0，1）），已知该足球队进行一场比赛得分的期望是1，则 的最小值为（ ）
a． b． c． d．
2．设随机变量ξ服从正态分布n（3，4），若p（ξ＜2a﹣3）=p（ξ＞a+2），则a的值为（ ）
a． b． c．5d．3
3．某校在模块考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩ξ～n（90，a2），（a＞0
试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的 ，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为（ ）
a．200b．300c．400d．600
ξ12345678910
p m
4．已知随机变量ξ的概率分布如下，则p（ξ=10）=（ ）
a． b． c． d．
5．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数x是一个随机变量，其分布列为p（x），则p（x=4）的值为（ ）
a． b． c． d．
6．设x是一个离散型随机变量，其分布列如图，则q等于（ ）
x﹣10 1
p 0.5 1﹣2q q2
a．1b．1± c．1﹣ d．1+
7．已知x～b（n，p），ex=8，dx=1.6，则n与p的值分别是（ ）
a．100，0.08b．20，0.4c．10，0.2d．10，0.8
8．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为x，则x的数学期望为（ ）
a．100b．200c．300d．400
9．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，得0分的概率为0.5（投篮一次得分只能3分、2分、1分或0分），其中a、b∈（0，1），已知他投篮一次得分的数学期望为1，则ab的最大值为（ ）
a． b． c． d．
10．一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02．设发病的牛的头数为ξ，则dξ等于（ ）
a．0.2b．0.8c．0.196d．0.804
11．设随机变量x～n（1，52），且p（x≤0）=p（x＞a﹣2），则实数a的值为（ ）
a．4b．6c．8d．10
二．填空题（共2小题）
12．如果随机变量ξ～b（n，p），且eξ=7，dξ=6，则p等于 _________ ．
13．若随机变量x服从两点分布，且成功概率为0.7；随机变量y服从二项分布，且y～b（10，0.8），则e（x），d（x），e（y），d（y）分别是 _________ ， _________ ， _________ ， _________ ．
三．解答题（共3小题）
14．某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队比赛中获胜的事件是独立的，并且获胜的概率均为 ．
（1）求这支篮球队首次获胜前已经负了两场的概率；
（2）求这支篮球队在6场比赛中恰好获胜3场的概率；
（3）求这支篮球队在6场比赛中获胜场数的期望．
15．（2014•银川模拟）某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，如图所示茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：
（1）指出这组数据的众数和中位数；
（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；
（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．
16．（2014•黄冈模拟）在某学校组织的一次篮球总投篮训练中，规定每人最多投3次；在a处每投进一球得3分，在b处每投进一球得2分，如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第3次．某同学在a处的命中率q1为0.25，在b处的命中率为q2．该同学选择先在a处投一球，以后都在b处投，用ξ表示该同学投篮的训练结束后所得的总分，其分布列为
ξ02345
p0.03p1p2p3p4
（1）求q2的值；
（2）求随机变量ξ的数学期望eξ；
（3）试比较该同学选择在b处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小．
参考答案与
试题解析
1.解：因为该足球队进行一场比赛得分的期望是1，所以3a+b=1
所以 =（3a+b）（ ）= 当且仅当 取等号 故选a．
2. 解：∵随机变量ξ服从正态分布n（3，4），∵p（ξ＜2a﹣3）=p（ξ＞a+2），
∴2a﹣3与a+2关于x=3对称，∴2a﹣3+a+2=6，∴3a=7，∴a= ，故选a．
3解：∵成绩ξ～n（90，a2），∴其正态曲线关于直线x=90对称，又∵成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的 ，由对称性知：成绩在110分以上的人数约为总人数的 （1﹣ ）= ，∴此次数学考试成绩不低于110分的学生约有： ．故选a．
4.解：∵由题意知，本题需要先计算出其它的概率之和，
∴根据表格可以看出9个变量对应的概率组成一个首项是 ，公比是 的等比数列，
∴s= =1﹣ ，∵s+m=1，∴m= ，故选c．
5解：∵从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数x=4，
即旧球的个数增加了一个，∴取出的3个球中必有一个新球，即取出的3个球必为2个旧球1个新球，∴p（x=4）= = ．故选c．
6.解：由分布列的性质得
；⇒ ∴q=1﹣ ；．故选c
7.解：由于x～b（n，p），含义为n次独立事件，每次发生的概率为p．
所以：ex=8，dx=1.6，即np=8，np（1﹣p）=1.6，可解得p=0.8，n=10，故选d．
8解：由题意可知播种了1000粒，没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即ξ～b（1000，0.1）．
而每粒需再补种2粒，补种的种子数记为x故x=2ξ，则ex=2eξ=2×1000×0.1=200．故选b．
9解：设这个篮球运动员得1分的概率为c，∵这个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，得0分的概率为0.5，投篮一次得分只能3分、2分、1分或0分，他投篮一次得分的数学期望为1，
∴ ，解得2a+b=0.5，∵a、b∈（0，1），∴ = = ，
∴ab ，当且仅当2a=b= 时，ab取最大值 ．故选d．
10解：∵由题意知该病的发病率为0.02，且每次实验结果都是相互独立的，∴ξ～b（10，0.02），∴由二项分布的方差公式得到dξ=10×0.02×0.98=0.196．故选c
11解：∵随机变量x～n（1，52），∴正态曲线关于x=1对称，∵p（x≤0）=p（x＞a﹣2），
∴0与a﹣2关于x=1对称，∴ （0+a﹣2）=1∴a=4，故选a．
12解：∵随机变量ξ～b（n，p），且eξ=7，dξ=6，∴ ，∴7（1﹣p）=6，
1﹣p= 解得p= ．故答案为： ．
13解：∵x服从两点分布，即0﹣1分布∴e（x）=0×0.3+1×0.7=0.7，
d（x）=0.72×0.3+（1﹣0.7）2×0.7=0.21．∵随机变量y服从二项分布，且y～b（10，0.8），
∴e（y）=10×0.8=8 d（y）=10×0.8×（1﹣0.8）=1.6 故答案为：0.7，0.21，8，1.6
14解：（1）这支篮球队首次获胜前已经负了两场的概率为p= =
（2）6场比赛中恰好获胜3场的情况有c63，故概率为c63× =20× × = （3）由于x服从二项分布，即x～b（6， ），∴ex=6× =2
15解：（1）由茎叶图得到所有的数据从小到大排，8.6出现次数最多，∴众数：8.6；中位数：8.75；
（2）设ai表示所取3人中有i个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件a，则
（3）ξ的可能取值为0、1、2、3. ； ； ，
ξ的分布列为
ξ0123
p
所以eξ= ．
另解：ξ的可能取值为0、1、2、3．则 ， ．
ξ的分布列为
ξ0123
p
所以eξ= ．
16解：（1）由题设知，“ξ=0”对应的事件为“在三次投篮中没有一次投中”，
由对立事件和相互独立事件性质，
知p（ξ=0）=（1﹣q1）（1﹣q2）2=0.03，
∵q1=0.25，
∴解得q2=0.8．
（2）根据题意p1=p（ξ=2）=（1﹣q1）• （1﹣q2）q2=0.75×2×0.2×0.8=0.24，
p2=p（ξ=3）= =0.25×（1﹣0.8）2=0.01，
p3=p（ξ=4）=（1﹣q1） =0.75×0.82=0.48，
p4=p（ξ=5）=q1q2+q1（1﹣q2）q2=0.25×0.8+0.25×0.2×0.8=0.24，
因此eξ=0×0.03+2×0.24+3×0.01+4×0.48+5×0.24=3.63．
（3）用c表示事件“该同学选择第一次在a处投，以后都在b处投，得分超过3分”，
用d表示事件“该同学选择都在b处投，得分超过3分”，
则p（c）=p（ξ=4）+p（ξ=5）=p3+p4=0.48+0.24=0.72，
p（d）= =0.82+2×0.8×0.2×0.8=0.896，
故p（d）＞p（c）．
即该同学选择都在b处投篮得分超过3分的概率大于该同学选择第一次在a处投以后都在b处投得分超过3分的概率．
