2015年
山东省济宁市第一中学学科擂台赛
试卷
数 学 试 题
命题人：贾广素 审题人：张永存 考试用时：120分钟
第一部分（满分100分）
一、选择题(每题5分,共40分)
1. 集合 满足：若 ，则 ，则满足条件的元素最少的集合 中的元素个数有（ ）
a.1 b.2 c.3 d.4
2. 已知 是定义在 上的偶函数，并满足 当 时， ，则 （ ）
a. b. c. d.
3. 一个空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积是（ ）
正（主）视图 侧（左）视图 俯视图
a. b. c. d.
4.设扇形的圆心角为 ，面积是 ，将它围成一个圆锥，则该圆锥的表面积是（ ）
a. b. c. d.
5.若直线： 平分圆 ： 的周长，则 的取值范围是（ ）
a. b. c. d.
6. 设方程 与 的根分别为 ， ，则（ ）
a. b. c. d.
7.某届足球赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.某球队参赛15场，积33分.若不考虑比赛顺序，则该队胜、平、负的情形有（ ）种.
a.15 b.11 c.9 d.3
8. 已知函数
设 为实数，若存在实数 ，使得 ，则实数 的取值范围是（ ）
a. b. c. d.
二、填空题（每小题5分，共20分）
9. 已知 ，则函数 的值域是 .
10. 已知 是定义在 上的增函数，且对任意的 ，都有 ，则 .
11. 设 ，其中 ， …， ，则所有 的交集是 .
12.如右图所示，记正方体 的中心为 ，面 的中心为 ， 的中点为 则空间四边形 在该正方体各个面的上投影可能是 .（把你认为正确命题的序号填写在答题纸上）
○1 ○2 ○3 ○4
三、解答题(第13题满分12分，第14满分13分、第15题满分15分，共40分)
13.（本题满分12分）
已知二次函数 的二次系数为 ，且不等式 的解集为
（1）若函数 有且只有一个零点，求 的解析式；
（2）记 的最大值为 ，求 的最小值.
14.（本题满分13分）
如图，在三棱柱 中，已知侧棱 平面 ， 是边长为2的等边三角形， 是 上的一点， ， 是棱 上的一点，且由点 沿棱柱侧面经过棱 到点 的最短距离为 .设此最短距离的折线与 交于点
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 和平面 所成二面角（锐角）的正切值.
15（本题满分15分）
已知定义域为 的函数 同时满足下列三个条件：
○1对任意的 ，总有 ；
○2 ；
○3若 ， ，且 ，则有 成立
则称函数 为“友谊函数”.
（1）已知 是“友谊函数”，求 的值；
（2）函数 在区间 上是否是“友谊函数”？说明你的理由.
（3）已知 是“友谊函数”，假定存在 ，使得 ，且
求证：
第二部分（满分50分）
本部分共三道解答题，第1、2题每题15分，第3题20分，满分50分
1（本题满分15分）
自锐角 的顶点 向边 引垂线，垂足为 在 上任取一点 ，直线 交 于点 ， 交 于点
证明： （即 平分 与 所成的角）
2（本题满分15分）
四个半径为1的球彼此相切，三个在水平面上，第四个在它们的上面.其中，给出一个边长为 的正四面体，使得任一球与该正四面体的三个面相切，求实数 的值.
3（本题满分20分）
已知 、 、 、 为非负实数， （ ），且 ， ，若 ，对任意的实数 均有 成立，试求出 值域外的唯一数.
2015年济宁市第一中学学科擂台赛试卷
数学
试题参考答案及评分标准
第一部分（满分100分）
一、选择题(每题5分,共40分)
1. c 提示： 由 ；由 ，又有 .此时，集合元素个数最少.
2. d提示：
3.d 提示：由三视图可知，该几何是一个圆锥与一个圆柱的组合体.
4．b 提示：设扇形的半径为 ，则由 ，得 .
于是扇形的弧长为 即圆锥的底面周长为 ，其半径为1.所以底面面积为 ，所以圆锥的表面积是
5.b 提示：圆周 被直线平分，所以圆心 在直线上，即 ，从而 ，所以
6.a 提示：显然 ，设 ，由 ，知 ，所以
7.d 提示：设该球队的胜、平、负的场次分别为 、 、 ，则 解得 ，所以 ， ， 共3种情形.
8．a 提示：当 时，易得 ，又当 时，易知 ，所以 ，所以只要 就一定存在实数 满足 ，即 ，解得
二、填空题（每小题5分，共20分）
9. 提示：由于 ，考虑其几何意义，构造点 ， ， ，函数 的值域表示 的取值范围.由于三角形的两边之差小于第三边，从而 ，故函数 的值域为
10. 提示：依题意， 为常数，设 ，则 ， .
所以 ， ，易知方程 有唯一解 ，所以 ，从而
11. 提示：由 知 ，所以 ，且 在 上递增，因此所有 的交集是
12.○1○2○3 提示：当向前后两个底面投影时，得到○1；当向左右两个侧面投影时，得到○2；当向上下两个面投影时，得到○3.
三、解答题(第13题满分12分，第14题满分13分，第15题满分15分，共40分)
13.解：（1）由 的解集为 知 （ ）.
则 ○1………………………4分
又因为 有且只有一个零点，即方程 有两个相等的实根，于是 ，即 ，解得 或 （舍），将 代入○1式，得 ……………………………………8分
（2）由○1及 知， 的最大值 .
又因为 ，由对勾函数的性质，得 ，当且仅当 时，等号成立.
故 的最小值为 …………………………………………………………………12分
14.解：（1）由 平面 及 是等边三角形，知侧面均为全等的矩形.
如图所示，将侧面旋转 ，使其与侧面 在同一个平面上.在同一个平面内，点 运动到 位置，联结 ，
则 即为点 沿棱柱侧面经过棱 到点 的最短路径. …………………………3分
设 ，则 ，在 ，注意到 ，得 .故 为 的中点，于是 设 与 交于点 ，则 为 的中点，所以 ，所以 平面 ………………………………………………………………………6分
（2）如图，连接 ，则 即为平面 与平面 的交线.
作 于点 ，连接
又因为 平面 ，从而
故 即为平面 与平面 所成二面角的平面角.…………………………10分
在 中，由 ，则
在 中， ………………………………………………13分
15.解：（1）令 ，得 ，知 ，又由○1知对任意 都有 ，所以 …………………………………………………………3分
（2）显然 在 上满足○1，即 ，也满足○2，即 ，下面只需验证 是否满足条件○3.
若 ， ，且 ，则有
.
故 满足条件○1○2○3，所以 在 上是“友谊函数”.…………6分
（3）由○3知任给 ， ，且 ，不妨设 ，则存在 ，使得 ，其中必有 所以
所以 依题意必有 .……………………………………………10分
下用反证法证明之.
假设 ，则 或
若 ，则 ，而 ，从而 ，矛盾；
若 ，则 ，而 ，从而 ，矛盾；
故由上述两个矛盾可知假设不成立，则必有 …………………………………15分
第二部分（满分50分）
本部分共三道解答题，第1、2题每题15分，第3题20分，满分50分
1.证法一：以 为坐标原点， 所在的直线为 轴， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系如图所示.
设 ， ， ， ，于是 所在的直线方程为 ， 所在的直线方程为 ………………………………………5分
过 与 交点的 的直线系是
令 ，得 （*）…………………………………10分
直线（*）经过坐标原点，因此（*）即为 所在的直线方程.
同理， 所在的直线方程为
显然，直线与直线 的斜率互为相反数，即 ，
故 平面 与 所成的角.………………………………………………………15分
解法二：过 作直线 ，延长 、 分别交于 、
于是有 ， ………………5分
又同塞瓦定理，知 ，
所以 ，所以
所以 ，
从而 ………………………………………………………………………15分
2.解：四个球的球心是边长为2的正四面体的顶点，设该四面体为 过点 的高交底面 于点 ，则 为 的重心.取 的中点 ，析出平面图形 ，如图所示.
与球都外切的四面体的各面到球心四面体 相应各面的距离都是1，仍然是一个正四面体，……………………………………………………………………………………5分
于是将 扩展为该四面体中相应的 ，只须分别作 ， ，平行线间距均为1，即可得到 ，通过 求出 的边，
进而可求出 的值.…………………………………………………………………………5分
事实上，易知 ， ， ， ，所以 所以
又因为 ，得 ………………………15分
3.解：由题设，对任意实数 有 ，即 ，化简，得
，
由于上述方程对 恒成立，故 ，且 ，所以 ………10分
又 ， ，即 、 是方程 的两个根，即方程是 的两个根，故由韦达定理，得 ， ，结合 ，得 ， ， ，所以
于是 取不到58这个数，即 是 值域外的唯一的数.…………………………20分
