第5讲 导数与不等式、存在性及恒成立问题
一、选择题
1.已知函数f(x)＝13x3－2x2＋3m，x∈[0，＋∞)，若f(x)＋5≥0恒成立，则实数m的取值范围是( )
a.179，＋∞ b.179，＋∞
c.(－∞，2] d.(－∞，2)
解析 f′(x)＝x2－4x，由f′(x)＞0，得x＞4或x＜0.
∴f(x)在(0，4)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，∴当x∈[0，＋∞)时，f(x)min＝f(4).∴要使f(x)＋5≥0恒成立，只需f(4)＋5≥0恒成立即可，代入解之得m≥179.
答案 a
2.若存在正数x使2x(x－a)＜1成立，则a的取值范围是( )
a.(－∞，＋∞) b.(－2，＋∞)
c.(0，＋∞) d.(－1，＋∞)
解析 ∵2x(x－a)＜1，∴a＞x－12x.
令f(x)＝x－12x，
∴f′(x)＝1＋2－xln 2＞0.
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴f(x)＞f(0)＝0－1＝－1，
∴a的取值范围为(－1，＋∞)，故选d.
答案 d
3.(2015•合肥模拟)当x∈[－2，1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是( )
