数列与不等式的交汇题型分析及解题策略

题型一　求有数列参与的不等式恒成立条件下参数问题

求得数列与不等式绫结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：(1)若函数f(x)在定义域为D，则当x∈D时，有f(x)≥M恒成立Ûf(x)_min≥M；f(x)≤M恒成立Ûf(x)_max≤M；(2)利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得.

【例1】　等比数列{a_n}的公比q＞1，第17项的平方等于第24项，求使a₁＋a₂＋…＋a_n＞＋＋…＋恒成立的正整数n的取值范围.

【分析】　利用条件中两项间的关系，寻求数列首项a₁与公比q之间的关系，再利用等比数列前n项公式和及所得的关系化简不等式，进而通过估算求得正整数n的取值范围.

【解】　由题意得：(a₁q¹⁶)²＝a₁q²³，∴a₁q⁹＝1.

由等比数列的性质知：数列{}是以为首项，以为公比的等比数列，要使不等式成立，

则须＞，把a＝q^-18代入上式并整理，得q^-18(qⁿ－1)＞q(1－)，

qⁿ＞q¹⁹，∵q＞1，∴n＞19，故所求正整数的取值范围是n≥20.

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