镇海中学2015届高三（理）第一次联考数学
试题卷
2014.11.17
本试题卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
参考公式：
如果事件 ， 互斥，那么 棱柱的体积公式
如果事件 ， 相互独立，那么 其中 表示棱柱的底面积， 表示棱柱的高
棱锥的体积公式
如果事件 在一次试验中发生的概率是 ，那么
次独立重复试验中事件 恰好发生 次的概率 其中 表示棱锥的底面积， 表示棱锥的高
棱台的体积公式
球的表面积公式
球的体积公式 其中 分别表示棱台的上底、下底面积，
其中 表示球的半径 表示棱台的高
一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将你认为正确的选项答在指定的位置上。）
1．已知集合 ，且 ，则实数 的取值范围是（ ）
a． b． c． d．
2．函数 的值域为 （ ）
a． b． c． d．
3．已知 、 是定义在 上的函数， ，则“ 、 均为偶函数”是“ 为偶函数”的 （ ）
a．充要条件 b．充分而不必要的条件
c．必要而不充分的条件 d．既不充分也不必要的条件
4．如图所示程序框图中，如果输入三个实数 、 、 ，要求输出这三个数中最小的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ ）
a． b．
c． d．
5．若实数 满足 则 的最小值是（ ）
a．0 b． c． d．
6．在一个仓库里堆积着正方体的货箱若干，要搬运这些箱子很困难，可是仓库管理员要清点一下箱子的数量，于是就想出一个办法：将这堆货物的三视图画了出来，你能根据三视图，帮他清点一下箱子的数量吗？这些正方体货箱的个数为 （ ）
a．6 b．7 c．8 d．9
7．设 、 、 为坐标平面上三点，o为坐标原点，若 、 上的投影相等，则a与b满足的关系式为 （ ）
a． b． c． d．
8．从正方体 的6个表面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有 （ ）
a．8种 b．12种 c．16种 d．20种
9. 已知双曲线 的左,右焦点分别为 ,过 的直线分别交双曲线的两条渐近线于 两点.若 恰为线段 的中点,且 ,则此双曲线的渐近线方程为（ ）
a． b． c． d．
10．若函数 内的全部极值点按从小到大的顺序排列为 则对任意正整数 必有 （ ）
a． b．
c． d．
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
11．若 为实数，为虚数单位， ，则 等于 ．
12．若 的展开式中含有常数项，则最小的正整数 等于 ．
13．在 中，若 ， ， ，则 ．
14．已知等比数列 的前 项和为 ，且 ， ， 成等差数列，则 的公比为 ．
15．设向量 满足 ，且 ．若 ，则 = ．
16．甲、乙等五名志愿者被随机地分到 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．设随机变量 为这五名志愿者中参加 岗位服务的人数，则 的数学期望为 ．
17．在长方形 中， 为 的三等分点（靠近 处）， 为线段 上一动点（包括端点），现将 沿 折起，使 点在平面内的射影恰好落在边 上，则当 运动时，二面角 平面角余弦值的变化范围为 ．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（本小题满分14分）
已知函数 .
（i）求函数 的最小正周期 和函数 的单调递增区间；
（ii）若函数 的对称中心为 ，求 的所有 的和．
19．（本小题满分14分）
已知 是一个公差大于0的等差数列，且满足 ．
（i）求数列 的通项公式；
（ii）若数列 满足: 且 ，求数列 的通项公式．
20．（本小题满分15分）
如图，正方形 、 的边长都是1，且平面 平面 ．点 在 上移动，点 在 上移动，若 ．
（i）当 为何值时， 的长度最小；
（ii）当 长度最小时，求 与平面 所成角 的正弦值．
21．（本小题满分15分）
已知 两点在以 为右焦点的椭圆
上，斜率为1的直线与椭圆 交于点 （ 在直线 的两侧）．
（i）求椭圆 的方程；
（ii）求四边形 面积的最大值．
22．（本小题满分14分）
已知函数 ．
（ⅰ）当 时，求 在点 处的切线方程；
（ⅱ）求 在 的最大值．
数学（理科）参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
12345678910
cdbaccabdb
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分,共28分，把答案填在答题卷上）
11、 12、7 13、 14、 15、 16、 17、
三、解答题（本大题共5题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
18、（本小题满分14分）
（i）由题得： …………….3分
…………….5分
令
可得：递增区间为 …….8分
（ii）令
可得： ………….10分
可取 ………………….12分
所有满足条件的 的和为：
…………….14分
19、（本小题满分14分）
（i）由题得： ………….2分
又 公差 ……………………….4分
……………….7分
（ii）
………….9分
且 ………….11分
…………….14分
20、（本小题满分15分）
（i）以 为原点， 分别为 轴建立的空间直角坐标系，则
， …….2分
……….5分
所以，当时， ， 的长度最小. ……….6分
（ii）当 时 , 又 ….8分
， …………….10分
可取平面 的法向量 ………….12分
与平面 所成角 的正弦值为 …………….15分
（用传统几何方法做酌情给分）
21、（本小题满分15分）
（i） 右焦点为 左焦点为 ………….1分
…………….4分
即： …………….6分
椭圆 的方程为： …………….7分
（ii）设 ，联立 可得： ….9分
………….11分
四边形 的面积
即: ………….13分
等号成立当且仅当 时 , 验证 交点在直线 两侧成立 …………….14分
面积的最大值为 ………………….15分
22、（本小题满分14分）
（i）当 时 ………………….3分
即：所求切线方程为： ………………….6分
（ii）
当 时， 在 上递增
………….7分
当 时 可令
的对称轴 且过点
当 时， 在 恒成立 在 上递增
………………….9分
当 时，
若 ，即： 时， 在 恒成立
在 上递减 ………………….10分
若 ，即： 时，
在 上大于零，在 上小于零
在 上递增，在 上递减
………….12分
若 ，即： 时，
在 恒成立 在 上递增
….13分
综上： ….14分
