基本信息
d 数列 d1 数列的概念与简单表示法 21．d1、d3、e1、m3[2012•重庆卷] 设数列{an}的前n项和sn满足sn＋1＝a2sn＋a1，其中a2≠0. (1)求证：{an}是首项为1的等比数列； (2)若a2＞－1，求证：sn≤n2(a1＋an)，并给出等号成立的充要条件． 21．解：(1)证法一：由s2＝a2s1＋a1得a1＋a2＝a2a1＋a1，即a2＝a2a1. 因a2≠0，故a1＝1，得a2a1＝a2. 又由题设条件知 sn＋2＝a2sn＋1＋a1，sn＋1＝a2sn＋a1，两式相减得sn＋2－sn＋1＝a2(sn＋1－sn)，即an＋2＝a2an＋1，由a2≠0，知an＋1≠0，因此an＋2an＋1＝a2. 综上，an＋1an＝a2对所有n∈n*成立，从而{an}是首项为1，公比为a2的等比数列．证法二：用数学归纳法证明an＝an－12，n∈n*. 当n＝1时，由s2＝a2s1＋a1，得a1＋a2＝a2a1＋a1，即a2＝a2a1，再由a2≠0，得a1＝1，所以结论成立．假设n＝k时，结论成立，即ak＝ak－12，那么当n＝k＋1时，ak＋1＝sk＋1－sk＝(a2sk＋a1)－(a2sk－1＋a1)＝a2(sk－sk－1)＝a2ak＝ak2，这就是说，当n＝k＋1时，结论也成立．
