1．内接于半径为r的球且体积最大的圆锥的高为( )
a．r b．2r
c.r d.r
[答案] c
[解析] 设圆锥高为h，底面半径为r，则r2＝(r－h)2＋r2，∴r2＝2rh－h2
∴v＝πr2h＝h(2rh－h2)＝πrh2－h3
v′＝πrh－πh2.令v′＝0得h＝r.
当0<h<r时，v′>0；当<h<2r时，v′<0.
因此当h＝r时，圆锥体积最大．故应选c.
2．若底面为等边三角形的直棱柱的体积为v，则其表面积最小时，底面边长为( )
a. b.
c. d．2
[答案] c
[解析] 设底面边长为x，则v＝x2h，∴h＝ .
∴s表＝2×x2＋3x·＝x2＋，
∴s′表＝x－，令s′表＝0得x＝.
当0<x<时，s′<0；x>时，s′>0.
因此当底边长为时，其表面积最小．
3．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益r与产量x的关系式r(x)＝则总利润最大时，每年生产的产品是( )
a．100 b．150
c．200 d．300
[答案] d
[解析] 由题意，总成本为c＝20000＋100x.
所以总利润为p＝r－c
＝
∴p′＝
令p′＝0，得x＝300，
当0<x<300时，p′>0，当300<x<400时，p′<0，分析可知当x＝300时，取得最大值，故应选d.
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